TEXTUL LECȚIEI:
Ideea unui avion în spațiu ne permite să obținem, de exemplu, suprafața unei mese sau a unui perete. Cu toate acestea, o masă sau un perete are dimensiuni finite, iar planul se extinde dincolo de granițele sale până la infinit.
Luați în considerare două plane care se intersectează. Când se intersectează, formează patru unghiuri diedrice cu o margine comună.
Să ne amintim ce este un unghi diedru.
În realitate, întâlnim obiecte care au forma unui unghi diedru: de exemplu, o ușă ușor deschisă sau un dosar întredeschis.
Când două plane alfa și beta se intersectează, obținem patru unghiuri diedre. Fie unul dintre unghiurile diedrice egal cu (phi), apoi al doilea este egal cu (1800 -), al treilea, al patrulea (1800 -).
Luați în considerare cazul în care unul dintre unghiurile diedrice este de 900.
Apoi, toate unghiurile diedrice în acest caz sunt egale cu 900.
Să introducem definiția planurilor perpendiculare:
Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90°.
Unghiul dintre planurile sigma și epsilon este de 90 de grade, ceea ce înseamnă că planurile sunt perpendiculare
Să dăm exemple de planuri perpendiculare.
Perete și tavan.
Peretele lateral și blatul mesei.
Să formulăm un semn de perpendicularitate a două plane:
TEOREMA: Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste plane sunt perpendiculare.
Să demonstrăm acest semn.
Prin condiție, se știe că dreapta AM se află în planul α, dreapta AM este perpendiculară pe planul β,
Demonstrați: planurile α și β sunt perpendiculare.
Dovada:
1) Planurile α și β se intersectează de-a lungul liniei drepte AR, în timp ce AM este AR, deoarece AM este β prin condiție, adică AM este perpendiculară pe orice dreaptă situată în planul β.
2) Să desenăm o dreaptă AT perpendiculară pe AP în planul β.
Obținem unghiul TAM - unghiul liniar al unghiului diedru. Dar unghiul TAM = 90°, deoarece MA este β. Deci α β.
Q.E.D.
Din semnul perpendicularității a două plane avem un corolar important:
COROLAR: Un plan perpendicular pe o dreaptă de-a lungul căreia două plane se intersectează este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane.
Adică: dacă α∩β=с și γ с, atunci γ α și γ β.
Să demonstrăm acest corolar: dacă planul gamma este perpendicular pe dreapta c, atunci, pe baza paralelismului celor două plane, gamma este perpendicular pe alfa. La fel, gamma este perpendicular pe beta
Să reformulăm acest corolar pentru un unghi diedru:
Planul care trece prin unghiul liniar al unui unghi diedru este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru. Cu alte cuvinte, dacă am construit un unghi liniar al unui unghi diedru, atunci planul care trece prin el este perpendicular pe muchia și fețele acestui unghi diedru.
Având în vedere: ΔABC, C = 90°, AC se află în planul α, unghiul dintre planurile α și ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Aflați: distanța de la punctul B la planul α.
1) Să construim VC α. Atunci KS este proiecția soarelui pe acest plan.
2) BC AC (prin condiție), ceea ce înseamnă, conform teoremei celor trei perpendiculare (TPP), KS AC. Prin urmare, VSK este unghiul liniar al unghiului diedric dintre planul α și planul triunghiului ABC. Adică VSK = 60°.
3) Din ΔBCA conform teoremei lui Pitagora:
Răspunsul VK este egal cu 6 rădăcini de trei cm
Utilizarea practică (natura aplicată) a perpendicularității a două planuri.
Acest articol este dedicat planurilor perpendiculare. Definițiile și notațiile vor fi date împreună cu exemple. Se va formula semnul perpendicularităţii planurilor şi condiţia în care este satisfăcut. Soluțiile la probleme similare vor fi discutate folosind exemple.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dacă există un unghi între liniile care se intersectează, putem vorbi despre definirea planurilor perpendiculare.
Definiția 1
Cu condiția ca unghiul dintre liniile perpendiculare să fie de 90 de grade, acestea se numesc perpendicular.
Denumirea perpendicularității este de obicei scrisă cu semnul „⊥”. Dacă condiția spune că planele α și β sunt perpendiculare, atunci intrarea ia forma α ⊥ β. Imaginea de mai jos este prezentată în detaliu.
Când se dă în captură că planul α și β sunt perpendiculari, aceasta înseamnă că α este perpendicular pe β și invers. Astfel de planuri se numesc reciproc perpendiculare. De exemplu, peretele și tavanul dintr-o cameră sunt reciproc perpendiculare, deoarece atunci când se intersectează, formează un unghi drept.
Perpendicularitatea planurilor - semn și condiție de perpendicularitate
În practică, puteți întâlni sarcini în care este necesar să se determine perpendicularitatea planurilor date. Mai întâi trebuie să determinați unghiul dintre ele. Dacă este egal cu 90 de grade, atunci ele sunt considerate perpendiculare din definiție.
Pentru a demonstra perpendicularitatea a două plane se folosește semnul perpendicularității a două plane Formularea conține conceptele de dreptă perpendiculară și de plan. Să scriem definiția exactă a criteriului de perpendicularitate sub forma unei teoreme.
Teorema 1
Dacă unul dintre cele două plane date intersectează o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci planurile date sunt perpendiculare.
Dovada este disponibilă în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, unde există o descriere detaliată. Din semnul rezultă că, dacă un plan este perpendicular pe linia de intersecție a două plane date, atunci este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane.
Există o condiție necesară și suficientă pentru dovada. Să le considerăm pentru perpendicularitatea a două plane date, care este folosită ca verificare a perpendicularității lor, situate într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional. Pentru ca demonstrația să fie validă, este necesar să se aplice definiția vectorului normal al unui plan, care ajută la demonstrarea condiției necesare și suficiente pentru perpendicularitatea planurilor.
Teorema 2
Pentru ca perpendicularitatea planurilor care se intersectează să fie evidentă, este necesar și suficient ca vectorii normali ai planurilor date să se intersecteze în unghi drept.
Dovada
Fie specificat un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional. Dacă avem n 1 → = (A 1, B 1, C 1) și n 2 → = (A 2, B 2, C 2), care sunt vectori normali ai planurilor date α și β, atunci un necesar și suficient condiția de perpendicularitate a vectorilor n 1 → și n 2 → va lua forma
n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0
De aici obținem că n 1 → = (A 1, B 1, C 1) și n 2 → = (A 2, B 2, C 2) sunt vectori normali ai unor planuri date, iar pentru realitatea perpendicularității lui α și β este necesar și suficient, astfel încât produsul scalar al vectorilor n 1 → și n 2 → să fie egal cu zero și, prin urmare, ia forma n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · B 2 + C 1 · C 2 = 0 .
Egalitatea este îndeplinită.
Să aruncăm o privire mai atentă la exemple.
Exemplul 1
Să se determine perpendicularitatea planelor specificate în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z al spațiului tridimensional specificat de ecuațiile x - 3 y - 4 = 0 și x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1?
Soluţie
Pentru a găsi răspunsul la întrebarea perpendicularității, mai întâi trebuie să găsiți coordonatele vectorilor normali ai planurilor date, după care puteți verifica perpendicularitatea.
x - 3 y - 4 = 0 este o ecuație generală a planului, din care puteți transforma imediat coordonatele vectorului normal, egale cu n 1 → = (1, - 3, 0).
Pentru a determina coordonata vectorului normal al planului x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1, să trecem de la ecuația planului în segmente la cea generală.
Atunci obținem:
x 2 3 + y - 2 + z 4 5 ⇔ 3 2 x - 1 2 y + 5 4 z - 1 = 0
Atunci n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4 sunt coordonatele vectorului normal al planului x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1.
Să trecem la calcularea produsului scalar al vectorilor n 1 → = (1, - 3, 0) și n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4.
Obținem că n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + (- 3) · - 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .
Vedem că nu este egal cu zero, ceea ce înseamnă că vectorii dați nu sunt perpendiculari. Rezultă că nici planurile nu sunt perpendiculare. Condiția nu este îndeplinită.
Răspuns: planurile nu sunt perpendiculare.
Exemplul 2
Sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z are patru puncte cu coordonatele A - 15 4, - 7 8, 1, B 17 8, 5 16, 0, C 0, 0, 3 7, D - 1, 0, 0. Verificați dacă planurile A B C și A B D sunt perpendiculare.
Soluţie
Mai întâi, trebuie să calculați produsul scalar al vectorilor acestor plane. Dacă este egal cu zero, doar în acest caz putem considera că sunt perpendiculare. Găsim coordonatele vectorilor normali n 1 → și n 2 → plani A B C și A B D.
Din coordonatele date ale punctelor, calculăm coordonatele vectorilor A B → , A C → , A D → . Primim ca:
A B → = 47 8, 19 16, - 1, A C → = 15 4, 7 8, - 4 7, A D → = 11 4, 7 8, - 1.
Vectorul normal al planului A B C este produsul vectorial al vectorilor A B → și A C →, iar pentru A B D produsul vectorial al lui A B → și A D →. De aici obținem asta
n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 15 4 7 8 - 4 7 = 11 56 i → - 11 28 j → + 11 16 k → ⇔ n 1 → = 11 56 , - 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 11 4 7 8 - 1 = - 5 16 i → + 25 8 j → + 15 8 k → ⇔ n 2 → = - 5 16 , 25 8 , 15 8
Să începem să găsim produsul scalar n 1 → = 11 56, - 11 28, 11 16 și n 2 → = - 5 16, 25 8, 15 8.
Se obține: n 1 → , n 2 → = 11 56 · - 5 16 + - 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .
Dacă este egal cu zero, atunci vectorii planelor A B C și A B D sunt perpendiculari, atunci planurile în sine sunt perpendiculare.
Răspuns: planurile sunt perpendiculare.
A fost posibilă abordarea diferită a soluției și utilizarea ecuațiilor planelor A B C și A B D. După găsirea coordonatelor vectorilor normali ai acestor plane, ar fi posibil să se verifice dacă este îndeplinită condiția de perpendicularitate a vectorilor normali ai planurilor.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Subiectul lecției: „Semnul perpendicularității a două plane”
Tip de lecție: Lecție despre învățarea de material nou
Rezultate generate:
Subiect: introduceți conceptul de unghi între plane, introduceți elevii în definiția planurilor perpendiculare, semn de perpendicularitate a două plane și dezvoltați capacitatea de a-l aplica la rezolvarea problemelor.
Personal: dezvoltarea interesului cognitiv pentru geometrie, dezvoltarea capacității de a prezenta rezultatul activităților proprii.
Meta-subiect: de a dezvolta capacitatea de a stabili și formula noi sarcini pentru sine în activitatea de învățare și cognitivă.
Rezultate planificate: studentul va învăța să aplice noua teoremă atunci când rezolvă probleme simple.
Echipament: tablă, desene gata făcute (film de diapozitive), machete realizate de elevi și profesor, textul problemei pe bază tipărită.
Cuvinte de Polya D.:
Mai multe detalii in atasament
Descarca:
Previzualizare:
Lecție de geometrie în clasa a X-a.
Subiectul lecției: „Semnul perpendicularității a două plane”
Tip de lecție: Lecție despre învățarea de material nou
Rezultate generate:
Subiect: introduceți conceptul de unghi între plane, introduceți elevii în definiția planurilor perpendiculare, semn de perpendicularitate a două plane și dezvoltați capacitatea de a-l aplica la rezolvarea problemelor.
Personal: dezvoltarea interesului cognitiv pentru geometrie, dezvoltarea capacității de a prezenta rezultatul activităților proprii.
Meta-subiect: de a dezvolta capacitatea de a stabili și formula noi sarcini pentru sine în activitatea de învățare și cognitivă.
Rezultate planificate: studentul va învăța să aplice noua teoremă atunci când rezolvă probleme simple.
Echipament: tablă, desene gata făcute (film cu diapozitive), machete realizate de elevi și profesor, textul problemei pe bază tipărită.
Cuvinte de Polya D.: „Trebuie să învățăm prin toate mijloacele arta de a dovedi, fără a uita arta de a ghici.”
1. Moment organizatoric.
2. Verificarea temelor.
1) Un elev cu un model de unghi diedru spune cum este format unghiul liniar al acestuia; dă definiția gradului de măsură a unui unghi diedru.
2) Sarcina nr. 1. (Diapozitivul 2) - conform imaginii.
3) Sarcina nr. 2. (Diapozitivul 3) - conform imaginii.
Vom reveni asupra acestor probleme mai târziu înainte de a demonstra semnul.
3. Actualizarea cunoștințelor.
1) Povestea elevului despre planuri care se intersectează (se folosește un model).
2) Determinarea planurilor perpendiculare (folosește modelul), exemple.
Să ne întoarcem la teme. S-a constatat că în ambele cazuri unghiurile diedrice sunt egale cu 90°, adică. sunt drepte. Să vedem ce simboluri trebuie introduse în loc de puncte și să tragem o concluzie despre poziția relativă a planurilor (diapozitivul 4).
(AFC) FO (ADC)
(AFC) (ADC).
Să aflăm dacă este posibil să tragem o concluzie despre perpendicularitatea planurilor fără a găsi unghiul diedric?
Acordați atenție conexiunii (diapozitivul 5):
(DCC₁) DD₁ (ABC) (DCC₁) (ABC) și
(AFC) FO (ADC) (AFC) (ADC)
Formularea de ipoteze de către elevi.
4. Studierea materialelor noi.
1). Mesajul subiectului lecției: „Semn de perpendicularitate a două planuri.”
2). Enunțul teoremei (manual):„Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o linie perpendiculară pe celălalt plan, atunci astfel de planuri sunt perpendiculare”; arata pe un model.
3). Proba se realizează folosind un desen pre-întocmit (Fig. 62).
Dați: α, β – planuri; α AB p; AB ∩ β = A
Demonstrați: α β.
Dovada: 1) α ∩ β = AC
2) AB AC (?)
3) Să construim AD β; AD AC
4) L RĂU - ……….., L RĂU = …. °(?)
5) L (α, β) = 90°, adică. α β.
5. Fixare primară (PZ).
1). Rezolvarea problemei 1 pe desenul finit (diapozitivul 6).
Dat: DA
Demonstrați: (DAC)
2). Soluția problemei 2 de pe desenul final + fiecare are un romb decupat pregătit (diapozitivul 7).
Dat: ABCD – romb;
Îndoiți în diagonală:
ÎN
Demonstrați: (ABC)
3). Sarcina 3. Text „oarb” tipărit (diapozitivele 8-9).
Date: desen; unghiul diedric VASD este drept.
Găsiți: VD
Pe cont propriu. Examinare.
6. Rezumatul lecției. Informații despre teme.
Perpendicularitatea planurilor Definiție.
Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul liniar la marginea unghiului diedric dintre aceste plane este o linie dreaptă.
Semn perpendicularitatea planurilor. Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
Dovada. Lăsa AȘi ? - două plane care se intersectează, Cu- linia de intersectie a acestora si A- Drept perpendicular pe plan?
și întins într-un avionA. A - punctul de intersecție al dreptelorAȘi Cu.Într-un avion? din punctȘi ne vom restabili perpendiculară și să fie o linie dreaptă. b A Drept perpendicular perpendiculară și să fie o linie dreaptă avion? , ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, adică linii drepte CuȘi .
perpendicular A Unghiul dintre liniile drepte Și b - A planuri liniare Și ?și este egal cu 90°, deci Cum A Dreptperpendiculară și să fie o linie dreaptă(dovedit).După definiţia unui planAȘi ? perpendicular.
Teorema 1.
Dacă dintr-un punct aparținând unuia dintre cele două plane perpendiculare desenăm perpendiculară pe alt plan, atunci această perpendiculară se află în întregime în primul plan. 
Dovada. Lăsa AȘi ? - planuri perpendiculare şi Cu - linia dreaptă a intersecției lor, punctul A a sta întins Ași nu aparținând direct Cu. Perpendicular pe plan? trasat din punctul A nu se află în plan A, atunci punctul C este baza această perpendiculară se află în avion? Cu. si nu apartine liniei Din punctul A coborâm perpendiculara AB Cu. directLinia AB este perpendicularăplan (folosesc Teorema 2).Prin dreapta AB și punctul C Să desenăm un avion? (o linie dreaptă și un punct definesc un plan și doar unul). Vedem asta în ?
avion de la un punct A la dreapta BC se trasează două perpendiculare, ceea ce nu se poate întâmpla, ceea ce înseamnă dreaptă AC A.
coincide cu dreapta AB, iar dreapta AB, la rândul ei, se află complet în plan.
Teorema 2Dacă în unul din cele două plane perpendiculare tragem o perpendiculară pe dreapta lor
Dovada. Lăsa A intersecție, atunci această perpendiculară va fi perpendiculară pe al doilea plan. Cu -Și ? - două plane perpendiculare, linia de intersectie a acestora si A - Drept Cuși întins într-un avionAperpendicular pe o linie dreaptă A Unghiul dintre liniile drepte Cu.. A - punctul de intersecție al dreptelor In avion ? din punctul A restabilim perpendiculara și o lăsăm drept dreaptăb. A avion? , ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă din acest plan, adică linii drepteperpendiculară și să fie o linie dreaptă Unghiul dintre liniile drepte - liniară unghi la marginea unghiului diedru dintre A avioane Și ?Ași este egal cu 90°, deoarece planul Și ? A perpendicular. Dreptperpendiculară și să fie o linie dreaptăperpendicular pe o linie dreaptă Cu(după dovedit) și direct dupa conditie. A Deci e drept
perpendicular pe plan? (
Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci planurile date sunt perpendiculare () (Fig. 28) α – plan, V α – plan,– o dreaptă perpendiculară pe aceasta, β – un plan care trece prin dreapta Cu, Și
– dreapta de-a lungul căreia se intersectează planele α și β. Consecinţă.
Dacă un plan este perpendicular pe linia de intersecție a două plane date, atunci este perpendicular pe fiecare dintre aceste plane Problema 1
Dovada:
. Demonstrați că prin orice punct al unei drepte din spațiu se pot trasa două drepte diferite perpendiculare pe acesta. Conform axiomei eu există un punct care nu este pe linie A. Prin teorema 2.1, prin punctÎN si direct A putem desena planul α. (Fig. 29) Prin teorema 2.3 prin punct A există un punct care nu este pe linieîn planul α putem trage o linie dreaptă Conform axiomei C 1, există un punct CU Conform axiomei C 1, există un punct, neaparținând lui α. Prin teorema 15.1 prin punct A putem desena planul β. În planul β, conform teoremei 2.3, prin punctul a putem trasa o dreaptă cu există un punct care nu este pe linie Prin construcție, liniile b și c au un singur punct comun putem desena planul α. (Fig. 29) Prin teorema 2.3 prin punctși ambele sunt perpendiculare
Sarcina 2. Capetele superioare ale a doi stâlpi verticali, despărțiți de o distanță de 3,4 m, sunt conectate printr-o bară transversală. Înălțimea unui stâlp este de 5,8 m, iar celălalt este de 3,9 m. Aflați lungimea barei transversale.
AC= 5,8 m, ВD= 3,9 m, AB- ? (Fig. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Prin teorema lui Pitagora din ∆ AEV primim:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Sarcini
Ţintă. Învață să analizezi poziția relativă a obiectelor în spațiu în cele mai simple cazuri, folosește fapte și metode planimetrice atunci când rezolvi probleme stereometrice.
1. Demonstrați că prin orice punct al unei linii din spațiu puteți trage o dreaptă perpendiculară pe acesta.
2. Dreptele AB, AC și AD sunt perpendiculare în perechi. Găsiți segmentul de CD dacă:
1) AB = 3 cm , soare= 7 cm, ANUNȚ= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, ANUNȚ= 5 cm, Soare= 16cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) ВD = с, ВС = a, АD = d
3. Punctul A se află la distanță A de la vârfurile unui triunghi echilateral cu latura există un punct care nu este pe linie Aflați distanța de la punctul A la planul triunghiului.
4. Demonstrați că dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci toate punctele sale sunt la aceeași distanță de plan.
5. Un fir telefonic de 15 m lungime este întins de la un stâlp de telefon, unde este atașat la o înălțime de 8 m de la suprafața pământului, la o casă, unde este atașat la o înălțime de 20 m. Aflați distanța între casă și stâlp, presupunând că firul nu se lasă.
6. Se trasează două pante înclinate dintr-un punct pe un plan, egale cu 10 cm și 17 cm Diferența dintre proiecțiile acestor înclinate este de 9 cm.
7. Două înclinate sunt trase dintr-un punct într-un plan, dintre care unul este cu 26 cm mai mare decât celălalt. Proeminențele înclinate sunt de 12 cm și 40 cm Găsiți cele înclinate.
8. Două drepte înclinate sunt trasate de la un punct la un plan. Aflați lungimile oblicilor dacă au un raport de 1:2 și proiecțiile oblicilor sunt de 1 cm și 7 cm.
9. Două pante înclinate egale cu 23 cm și 33 cm sunt desenate dintr-un punct într-un plan
distanța de la acest punct la plan dacă proiecțiile înclinate sunt în raport de 2:3.
10. Aflați distanța de la mijlocul segmentului AB până la un plan care nu intersectează acest segment dacă distanțele de la punctele a și B la plan sunt: 1) 3,2 cm și 5,3 cm 7,4 cm și 6,1 cm; 3) a și c.
11. Rezolvați problema anterioară cu condiția ca segmentul AB să intersecteze planul.
12. Un segment de 1 m lungime intersectează un plan, capetele lui sunt îndepărtate de plan la o distanță de 0,5 m și 0,3 m Aflați lungimea proiecției segmentului pe plan..
13. Din punctele A și B, perpendicularele sunt aruncate pe plan. Aflați distanța dintre punctele A și B dacă perpendicularele au 3 m și 2 m, distanța dintre bazele lor este de 2,4 m, iar segmentul AB nu intersectează planul.
14. Din punctele A și B, situate în două plane perpendiculare, perpendicularele AC și BD sunt aruncate pe linia de intersecție a planurilor. Aflați lungimea segmentului AB dacă: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Din vârfurile A și B ale triunghiului echilateral ABC se restabilesc perpendicularele AA 1 și BB 1 pe planul triunghiului. Aflați distanța de la vârful C până la mijlocul segmentului A 1 B 1 dacă AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m și segmentul A 1 B 1 nu intersectează planul triunghiului
16. Din vârfurile A și B ale unghiurilor ascuțite ale triunghiului dreptunghic ABC se ridică perpendicularele AA 1 și BB 1 pe planul triunghiului. Aflați distanța de la vârful C până la mijlocul segmentului A 1 B 1, dacă A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m și segmentul A 1 B 1 nu se intersectează planul triunghiului.