Definiție integrală nedefinită și cele mai simple proprietăți. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite. Invarianța formelor de integrare

Antiderivată și integrală nedefinită.

O antiderivată a unei funcții f(x) pe intervalul (a; b) este o funcție F(x) astfel încât egalitatea este valabilă pentru orice x din intervalul dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea este adevărată . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrand, iar f(x) se numește integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x).

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa integrare nedeterminată, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci o mulțime de antiderivatele sale F(x)+C.

Integrale de tabel

Cele mai simple proprietăți ale integralelor

1. Derivata rezultatului integrării este egală cu integrandul.

2. Integrală nedefinită a funcției diferențiale egal cu suma funcția în sine și o constantă arbitrară.

3. Coeficientul poate fi scos din semn integrală definită.

4. Integrala nedefinită a sumei/diferenței de funcții este egală cu suma/diferența integralelor nedefinite de funcții.

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsiți derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este o dovadă datorită primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema de integrare este inversul problemei de diferențiere și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

Prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;

a doua proprietate a integralei nedefinite permite găsirea antiderivată a acesteia dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

1.4.Invarianța formelor de integrare.

Integrarea invariantă este un tip de integrare pentru funcții ale căror argumente sunt elemente ale unui grup sau puncte ale unui spațiu omogen (orice punct dintr-un astfel de spațiu poate fi transferat la altul printr-o acțiune dată a grupului).

functia f(x) se reduce la calcularea integralei formei diferentiale f.w, unde

O formulă explicită pentru r(x) este dată mai jos. Condiția de acord are forma .

aici Tg înseamnă operatorul de deplasare pe X folosind gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Fie X=G o topologie, un grup care acționează asupra lui însuși prin deplasări la stânga. eu. si. există dacă și numai dacă G este compact local (în special, pe grupuri infinit-dimensionale I.I. nu există). Pentru un subset de I. şi. funcția caracteristică cA (egal cu 1 pe A și 0 în afara A) specifică măsura Xaar din stânga m(A). Proprietatea definitorie a acestei măsuri este invarianța sa sub deplasări la stânga: m(g-1A)=m(A) pentru toate gОG. Măsura Haar din stânga pe un grup este definită în mod unic până la un factor scalar pozitiv. Dacă măsura Haar m este cunoscută, atunci I. și. funcția f este dată de formula . Măsura Haar corectă are proprietăți similare. Există un homomorfism continuu (hartă care păstrează proprietatea grupului) DG al grupului G în poziția grupului (în ceea ce privește înmulțirea). numere pentru care

unde dmr si dmi sunt masurile Haar dreapta si stanga. Se numește funcția DG(g). modulul grupului G. Dacă , atunci se numește grupul G. unimodular; in acest caz masurile Haar dreapta si stanga coincid. Grupurile compacte, semisimple și nilpotente (în special, comutative) sunt unimodulare. Dacă G este un grup Lie n-dimensional și q1,...,qn este o bază în spațiul formelor 1 invariante stânga pe G, atunci măsura Haar din stânga pe G este dată de forma n. În coordonatele locale pentru calcul

forme qi, puteți folosi orice realizare matrice a grupului G: matricea 1-forma g-1dg este lăsată invariantă, iar coeficientul ei. sunt forme scalare 1-invariante stânga din care este selectată baza necesară. De exemplu, grupul complet de matrice GL(n, R) este unimodular și măsura Haar pe acesta este dată de forma. Lasă X=G/H este un spațiu omogen pentru care grupul local compact G este un grup de transformare, iar subgrupul închis H este stabilizatorul unui anumit punct. Pentru ca un i.i să existe pe X, este necesar și suficient ca pentru toate hОH egalitatea DG(h)=DH(h) să fie valabilă. În special, acest lucru este adevărat în cazul în care H este compact sau semisimplu. Teoria completă a lui I. şi. nu există pe varietăți infinit-dimensionale.

Înlocuirea variabilelor.

Lasă funcția y = f(x) este definită pe intervalul [ o, b ], o < b. Să efectuăm următoarele operații:

1) hai sa ne despartim [ o, b] puncte o = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b pe n segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) în fiecare dintre segmentele parțiale [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, alegeți un punct arbitrar și calculați valoarea funcției în acest punct: f(z i ) ;

3) găsiți lucrările f(z i ) · Δ x i , unde este lungimea segmentului parțial [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) hai sa ne impacam suma integrală funcții y = f(x) pe segmentul [ o, b ]:

CU punct geometric Din punct de vedere vizual, această sumă σ este suma ariilor dreptunghiurilor ale căror baze sunt segmente parțiale [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], iar înălțimile sunt egale f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) în consecință (Fig. 1). Să notăm prin λ lungimea celui mai lung segment parțial:

5) găsiți limita sumei integrale când λ → 0.

Definiţie. Dacă există o limită finită a sumei integrale (1) și aceasta nu depinde de metoda de împărțire a segmentului [ o, b] la segmente parțiale, nici din selecția punctelor z iîn ele, atunci această limită se numește integrală definită din functie y = f(x) pe segmentul [ o, b] și este notat

Astfel,

În acest caz, funcția f(x) se numește integrabil pe [ o, b]. Numerele oŞi b sunt numite limitele inferioare și, respectiv, superioare ale integrării, f(x) – funcția integrand, f(x ) dx– expresie integrantă, x– variabila de integrare; segment [ o, b] se numește interval de integrare.

Teorema 1. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci este integrabil pe acest interval.

Integrala definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero:

Dacă o > b, atunci, prin definiție, presupunem

2. Sensul geometric al integralei definite

Lasă pe segmentul [ o, b] este specificată o funcție continuă nenegativă y = f(x ) . Trapez curbiliniu este o figură mărginită mai sus de graficul unei funcții y = f(x), de jos - de-a lungul axei Ox, la stânga și la dreapta - linii drepte x = aŞi x = b(Fig. 2).

Integrală definită a unei funcții nenegative y = f(x) din punct de vedere geometric este egal cu aria unui trapez curbiliniu delimitat mai sus de graficul funcției y = f(x), stânga și dreapta – segmente de linie x = aŞi x = b, de jos - un segment al axei Ox.

3. Proprietăţile de bază ale integralei definite

1. Valoarea integralei definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare:

2. Factorul constant poate fi scos din semnul integralei definite:

3. Integrala definită a sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcții:

4.Dacă funcția y = f(x) este integrabil pe [ o, b] Și o < b < c, Asta

5. (teorema valorii medii). Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b], atunci pe acest segment există un punct astfel încât

4. Formula Newton–Leibniz

Teorema 2. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b] Și F(x) este oricare dintre antiderivatele sale pe acest segment, atunci următoarea formulă este valabilă:

care se numeste Formula Newton-Leibniz. Diferenţă F(b) - F(o) se scrie de obicei după cum urmează:

unde simbolul se numește wildcard dublu.

Astfel, formula (2) poate fi scrisă astfel:

Exemplul 1. Calculați integrala

Soluţie. Pentru integrand f(x ) = x 2 o antiderivată arbitrară are forma

Deoarece orice antiderivată poate fi utilizată în formula Newton-Leibniz, pentru a calcula integrala luăm antiderivată care are cea mai simplă formă:

5. Schimbarea variabilei într-o integrală definită

Teorema 3. Lasă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [ o, b]. Dacă:

1) funcția x = φ ( t) și derivata sa φ "( t) sunt continue pentru ;

2) un set de valori ale funcției x = φ ( t) pentru este segmentul [ o, b ];

3) φ ( o) = o, φ ( b) = b, atunci formula este valabilă

care se numeste formula pentru schimbarea unei variabile într-o integrală definită .

Spre deosebire de integrala nedefinită, în în acest caz, nu este nevoie pentru a reveni la variabila de integrare originală - este suficient să găsiți noi limite de integrare α și β (pentru aceasta trebuie să rezolvați variabila t ecuații φ ( t) = oși φ ( t) = b).

În loc de înlocuire x = φ ( t) puteți folosi înlocuirea t = g(x). În acest caz, găsirea de noi limite de integrare asupra unei variabile t simplifică: α = g(o) , β = g(b) .

Exemplul 2. Calculați integrala

Soluţie. Să introducem o nouă variabilă folosind formula. Punând la pătrat ambele părți ale egalității, obținem 1 + x = t 2 , unde x = t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Găsim noi limite ale integrării. Pentru a face acest lucru, să înlocuim vechile limite în formulă x = 3 și x = 8. Obtinem: , de unde t= 2 și α = 2; , unde t= 3 și β = 3. Deci,

Exemplul 3. Calcula

Soluţie. Lasă u= jurnal x, Atunci , v = x. Conform formulei (4)

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(x) se numește antiderivat pentru functie f(x).

Definiție 1. Funcție F(x f(x) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile x din acest interval egalitatea este valabilă F "(x)=f(x), adică această funcție f(x) este un derivat al funcția antiderivată F(x). .

De exemplu, funcția F(x) = păcat x este o antiderivată a funcției f(x) = cos x pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat x)" = (cos x) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(x) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

f(x)dx

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția f(x) – funcția integrand și f(x)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă F(x) – unele antiderivate pt f(x), Asta

∫

f(x)dx = F(x) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o uşă (uşă tradiţională din lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul cu funcțiile obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite, sunt dați integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 x³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 x³+4 sau 5 x³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), al cărui derivat egal cu f(x).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(x) se numește antiderivată pentru funcție f(x), dacă derivata F(x) este egal cu f(x), sau, ceea ce este același lucru, diferențială F(x) este egală f(x) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(x) – antiderivată pentru funcție f(x) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(x) pe același interval poate fi reprezentat sub formă F(x) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de funcții antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pt n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei x, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului de înclinare a tangentei în fiecare punct este funcţie dată f(x) abscisa acestui punct.

Conform sens geometric derivată, tangentă a unghiului tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre astfel de curbe și orice altă curbă poate fi obținută din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(x) este egală cu funcția f(x) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce sunt integralele definite și nedefinite?

Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați cele mai simple și alte integrale și de ce nu vă puteți descurca fără ea la matematică.

Studiem conceptul « integrală »

Integrarea era cunoscută în trecut Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar totusi. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat.

Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect, veți avea nevoie în continuare de o înțelegere de bază a elementelor de bază. analiză matematică. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula constant antiderivate functii elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrală definită

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei corpului neomogen, a distanței parcurse la mișcare neuniformă cale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este suma unui număr infinit de termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții.

Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții? Folosind o integrală! Să-l descompunem trapez curbat, limitat de axele de coordonate și graficul funcției, în segmente infinit de mici. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

« Integral »

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

Derivata integralei este egala cu integrandul:

Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

Linearitate:

Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

La orice puncte o, bŞi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare integrala nedefinită și exemple cu soluții. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesionist pentru studenți și orice integrală triplă sau curbă pe o suprafață închisă va fi în puterea dumneavoastră.

Acest articol vorbește în detaliu despre principalele proprietăți ale integralei definite. Ele sunt dovedite folosind conceptul de integrală Riemann și Darboux. Calculul unei integrale definite are loc datorită a 5 proprietăți. Cele rămase sunt folosite pentru a evalua diverse expresii.

Înainte de a trece la principalele proprietăți ale integralei definite, este necesar să ne asigurăm că a nu depășește b.

Proprietățile de bază ale integralei definite

Definiția 1

Funcția y = f (x) definită la x = a este similară cu egalitatea justă ∫ a a f (x) d x = 0.

Dovada 1

Din aceasta vedem că valoarea integralei cu limite coincidente este egală cu zero. Aceasta este o consecință a integralei Riemann, deoarece fiecare sumă integrală σ pentru orice partiție pe intervalul [ a ; a ] și orice alegere de puncte ζ i este egală cu zero, deoarece x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , ceea ce înseamnă că găsim că limita funcțiilor integrale este zero.

Definiția 2

Pentru o funcţie care este integrabilă pe intervalul [ a ; b ] , condiția ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x este îndeplinită.

Dovada 2

Cu alte cuvinte, dacă schimbați limitele superioare și inferioare de integrare, valoarea integralei se va schimba la valoarea opusă. Această proprietate este preluată din integrala Riemann. Cu toate acestea, numerotarea partiției segmentului începe de la punctul x = b.

Definiția 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x se aplică funcțiilor integrabile de tip y = f (x) și y = g (x) definite pe intervalul [ a ; b ] .

Dovada 3

Scrieți suma integrală a funcției y = f (x) ± g (x) pentru împărțirea în segmente cu o alegere dată de puncte ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

unde σ f și σ g sunt sumele integrale ale funcțiilor y = f (x) și y = g (x) pentru împărțirea segmentului. După trecerea la limita la λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 obținem că lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Din definiția lui Riemann, această expresie este echivalentă.

Definiția 4

Extinderea factorului constant dincolo de semnul integralei definite. Funcție integrată din intervalul [a; b ] cu o valoare arbitrară k are o inegalitate justă de forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dovada 4

Dovada proprietății integrale definite este similară cu cea anterioară:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definiția 5

Dacă o funcție de forma y = f (x) este integrabilă pe un interval x cu a ∈ x, b ∈ x, obținem că ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x.

Dovada 5

Proprietatea este considerată valabilă pentru c ∈ a; b, pentru c ≤ a și c ≥ b. Dovada este similară cu proprietățile anterioare.

Definiția 6

Când o funcție poate fi integrabilă din segmentul [a; b ], atunci acest lucru este fezabil pentru orice segment intern c; d ∈ a; b.

Dovada 6

Dovada se bazează pe proprietatea Darboux: dacă sunt adăugate puncte la o partiție existentă a unui segment, atunci suma inferioară a Darboux nu va scădea, iar cea superioară nu va crește.

Definiția 7

Când o funcție este integrabilă pe [a; b ] din f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b , atunci obținem că ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Proprietatea poate fi demonstrată folosind definiția integralei Riemann: orice sumă integrală pentru orice alegere de puncte de partiție a segmentului și puncte ζ i cu condiția ca f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 este nenegativă .

Dovada 7

Dacă funcţiile y = f (x) şi y = g (x) sunt integrabile pe intervalul [ a ; b ], atunci următoarele inegalități sunt considerate valide:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Datorită declarației, știm că integrarea este permisă. Acest corolar va fi folosit în demonstrarea altor proprietăți.

Definiția 8

Pentru o funcție integrabilă y = f (x) din intervalul [ a ; b ] avem o inegalitate justă de forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dovada 8

Avem că - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Din proprietatea anterioară am constatat că inegalitatea poate fi integrată termen cu termen și corespunde unei inegalități de forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Această dublă inegalitate poate fi scrisă sub altă formă: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definiția 9

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrate din intervalul [ a ; b ] pentru g (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ a ; b , obținem o inegalitate de forma m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , unde m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x).

Dovada 9

Dovada se face într-un mod similar. M și m sunt considerate a fi cele mai mari și cea mai mică valoare funcția y = f (x) definită din segmentul [ a ; b ] , atunci m ≤ f (x) ≤ M . Este necesar să se înmulțească inegalitatea dublă cu funcția y = g (x), care va da valoarea inegalității duble de forma m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x). Este necesar să-l integrăm pe intervalul [a; b ] , atunci obținem enunțul de demonstrat.

Consecinţă: Pentru g (x) = 1, inegalitatea ia forma m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Prima formulă medie

Definiția 10

Pentru y = f (x) integrabil pe intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) există un număr μ ∈ m; M, care se potrivește cu ∫ a b f (x) d x = μ · b - a.

Consecinţă: Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci există un număr c ∈ a; b, care satisface egalitatea ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

Prima formulă medie în formă generalizată

Definiția 11

Când funcțiile y = f (x) și y = g (x) sunt integrabile din intervalul [ a ; b ] cu m = m i n x ∈ a ; b f (x) și M = m a x x ∈ a ; b f (x) și g (x) > 0 pentru orice valoare x ∈ a ; b. De aici avem că există un număr μ ∈ m; M , care satisface egalitatea ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

A doua formulă medie

Definiția 12

Când funcţia y = f (x) este integrabilă din intervalul [ a ; b ], iar y = g (x) este monoton, atunci există un număr care c ∈ a; b , unde obținem o egalitate justă de forma ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter