Fiecare număr natural, cu excepția unuia, are doi sau mai mulți divizori. De exemplu, numărul 7 este divizibil fără rest doar cu 1 și 7, adică are doi divizori. Și numărul 8 are divizori 1, 2, 4, 8, adică până la 4 divizori deodată.
Care este diferența dintre numerele prime și cele compuse?
Numerele care au mai mult de doi divizori se numesc numere compuse. Numerele care au doar doi divizori: unul și numărul însuși se numesc numere prime.
Numărul 1 are o singură împărțire și anume numărul însuși. Unul nu este nici prim, nici numar compus.
- De exemplu, numărul 7 este prim, iar numărul 8 este compus.
Primele 10 numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr prim par, toate celelalte numere prime sunt impare.
Numărul 78 este compus, deoarece pe lângă 1 și însuși, este și divizibil cu 2. Când este împărțit la 2, obținem 39. Adică 78 = 2*39. În astfel de cazuri, se spune că numărul a fost factorizat în factori de 2 și 39.
Orice număr compus poate fi descompus în doi factori, fiecare dintre care este mai mare decât 1. Acest truc nu va funcționa cu un număr prim. Asemenea lucruri.
Factorizarea unui număr în factori primi
După cum sa menționat mai sus, orice număr compus poate fi descompus în doi factori. Să luăm, de exemplu, numărul 210. Acest număr poate fi descompus în doi factori 21 și 10. Dar numerele 21 și 10 sunt și ele compuse, să le descompunem în doi factori. Obținem 10 = 2*5, 21=3*7. Și ca rezultat, numărul 210 a fost descompus în 4 factori: 2,3,5,7. Aceste numere sunt deja prime și nu pot fi extinse. Adică am factorizat numărul 210 în factori primi.
Când se factorizează numerele compuse în factori primi, acestea sunt de obicei scrise în ordine crescătoare.
Trebuie amintit că orice număr compus poate fi descompus în factori primi și într-un mod unic, până la permutare.
- De obicei, la descompunerea unui număr în factori primi, se folosesc criterii de divizibilitate.
Să factorăm numărul 378 în factori primi
Vom nota numerele, separându-le cu o linie verticală. Numărul 378 este divizibil cu 2, deoarece se termină cu 8. Când este împărțit, obținem numărul 189. Suma cifrelor numărului 189 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul 189 însuși este divizibil cu 3. Rezultatul este 63.
Numărul 63 este de asemenea divizibil cu 3, în funcție de divizibilitate. Obținem 21, numărul 21 poate fi împărțit din nou la 3, obținem 7. Șapte este împărțit numai la sine, obținem unul. Aceasta completează împărțirea. În dreapta după linie sunt factorii primi în care se descompune numărul 378.
378|2
189|3
63|3
21|3
Orice număr compus poate fi reprezentat ca produs al divizorilor primi:
28 = 2 2 7
Laturile din dreapta ale egalităților rezultate se numesc factorizarea primelor numerele 15 și 28.
Factorizarea unui număr compus dat în factori primi înseamnă a reprezenta acest număr ca produs al factorilor săi primi.
Descompunerea unui număr dat în factori primi se realizează după cum urmează:
- Mai întâi trebuie să selectați cel mai mic număr prim din tabelul numerelor prime care împarte numărul compus dat fără rest și să efectuați împărțirea.
- Apoi, trebuie să selectați din nou cel mai mic număr prim cu care câtul deja obținut va fi împărțit fără rest.
- A doua acțiune se repetă până când se obține una în coeficient.
De exemplu, să factorizăm numărul 940 în factori primi Găsiți cel mai mic număr prim care împarte 940. Acest număr este 2:
Acum selectăm cel mai mic număr prim care este divizibil cu 470. Acest număr este din nou 2:
Cel mai mic număr prim care este divizibil cu 235 este 5:
Numărul 47 este prim, ceea ce înseamnă că cel mai mic număr prim care poate fi împărțit la 47 este numărul în sine:
Astfel, obținem numărul 940, împărțit în factori primi:
940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47
Dacă descompunerea unui număr în factori primi a dus la mai mulți factori identici, atunci, pentru concizie, aceștia pot fi scrisi sub forma unei puteri:
940 = 2 2 5 47
Cel mai convenabil este să scriem descompunerea în factori primi după cum urmează: mai întâi notăm acest număr compus și trasăm o linie verticală în dreapta lui:
În dreapta dreptei scriem cel mai mic divizor prim cu care se împarte numărul compus dat:
Efectuăm împărțirea și scriem coeficientul rezultat sub dividend:
Acționăm cu câtul în același mod ca și cu numărul compus dat, adică selectăm cel mai mic număr prim cu care este divizibil fără rest și efectuăm împărțirea. Și repetăm asta până când obținem o unitate în coeficient:
Vă rugăm să rețineți că, uneori, poate fi destul de dificil să factorizați un număr în factori primi, deoarece în timpul factorizării putem întâlni un număr mare care este dificil de determinat imediat dacă este prim sau compus. Și dacă este compus, atunci nu este întotdeauna ușor să găsești cel mai mic divizor prim al său.
Să încercăm, de exemplu, să factorizăm numărul 5106 în factori primi:
După ce a ajuns la coeficientul 851, este dificil să-i determinați imediat cel mai mic divizor. Ne întoarcem la tabelul numerelor prime. Dacă există un număr în el care ne pune în dificultate, atunci este divizibil doar prin el însuși și unul. Numărul 851 nu se află în tabelul numerelor prime, ceea ce înseamnă că este compus. Tot ce rămâne este să-l împărțim în numere prime prin enumerare secvențială: 3, 7, 11, 13, ... și așa mai departe până găsim un divizor prim potrivit. Prin forța brută aflăm că 851 este divizibil cu numărul 23.
(cu excepția lui 0 și 1) au cel puțin doi divizori: 1 și el însuși. Se numesc numerele care nu au alți divizori simplu numere. Se numesc numerele care au alți divizori compozit(sau complex) numere. Există un număr infinit de numere prime. Următoarele sunt numere prime care nu depășesc 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Multiplicare- una dintre cele patru operații aritmetice de bază, o operație matematică binară în care un argument se adaugă de câte ori se adaugă celălalt. În aritmetică, înmulțirea este o formă scurtă de adăugare a unui număr specificat de termeni identici.
De exemplu, notația 5*3 înseamnă „adăugați trei cinci”, adică 5+5+5. Rezultatul înmulțirii se numește lucru, iar numerele de înmulțit sunt multiplicatori sau factori. Primul factor este uneori numit „ deînmulţit».
Fiecare număr compus poate fi descompus în factori primi. Cu orice metodă, se obține aceeași expansiune, dacă nu se ține cont de ordinea în care sunt scriși factorii.
Factorizarea unui număr (Factorizare).
Factorizare (factorizare)- enumerarea divizorilor - un algoritm pentru factorizarea sau testarea primalității unui număr prin enumerarea completă a tuturor potențialilor divizori.
Adică, în termeni simpli, factorizarea este denumirea procesului de factorizare a numerelor, exprimat în limbaj științific.
Secvența de acțiuni la factorizarea în factori primi:
1. Verificați dacă numărul propus este prim.
2. Dacă nu, atunci, ghidați de semnele împărțirii, selectăm un divizor dintre numerele prime, începând cu cel mai mic (2, 3, 5 ...).
3. Repetăm această acțiune până când câtul se dovedește a fi un număr prim.
Orice număr compus poate fi descompus în factori primi. Pot exista mai multe metode de descompunere. Oricare dintre metode produce același rezultat.
Cum să factorizezi un număr în factori primi în cel mai convenabil mod? Să ne uităm la cel mai bun mod de a face acest lucru folosind exemple specifice.
Exemple.
1) Factorizați numărul 1400 în factori primi.
1400 e divizibil cu 2. 2 e număr prim nu este nevoie să-l factorizezi. Obținem 700. Împărțim la 2. Obținem 350. Împărțim și 350 la 2. Numărul rezultat 175 poate fi împărțit la 5. Rezultatul este 35 - îl împărțim din nou la 5. Totalul este 7. Nu poate fi decât împărțit la 7. Obținem 1, împărțirea peste.
Același număr poate fi factorizat diferit:
Este convenabil să împărțiți 1400 la 10. 10 nu este un număr prim, așa că trebuie descompus în factori primi: 10=2∙5. Rezultatul este 140. Împărțim din nou la 10=2∙5. Obține 14. Dacă 14 este împărțit la 14, atunci ar trebui să fie și descompus într-un produs de factori primi: 14=2∙7.
Astfel, am ajuns din nou la aceeași descompunere ca în primul caz, dar mai rapid.
Concluzie: la descompunerea unui număr, nu este necesar să-l împărțim doar în factori primi. Împărțim la ceea ce este mai convenabil, de exemplu, la 10. Trebuie doar să vă amintiți să descompuneți divizorii compuși în factori simpli.
2) Factorizați numărul 1620 în factori primi.
Cel mai convenabil mod de a împărți numărul 1620 este la 10. Deoarece 10 nu este un număr prim, îl reprezentăm ca produs al factorilor primi: 10=2∙5. Avem 162. Este convenabil să-l împărțim la 2. Rezultatul este 81. Numărul 81 poate fi împărțit la 3, dar la 9 este mai convenabil. Deoarece 9 nu este un număr prim, îl extindem ca 9=3∙3. Obținem 9. De asemenea, îl împărțim la 9 și îl extindem în produsul factorilor primi.
Orice număr natural poate fi descompus într-un produs de factori primi. Dacă nu vă place să vă ocupați de numere mari precum 5733, aflați cum să le factorați în factori primi (în acest caz, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). O problemă similară este adesea întâlnită în criptografie, care se ocupă de problemele de securitate a informațiilor. Dacă nu sunteți încă pregătit să vă creați propriul sistem de e-mail sigur, începeți prin a învăța cum să factorizați numerele în factori primi.
Pași
Partea 1-
Găsirea factorilor primiÎncepeți cu numărul inițial.
- Alegeți un număr compus mai mare decât 3. Nu are rost să luați un număr prim, deoarece este divizibil doar cu el însuși și unul.
-
Exemplu: să descompunăm numărul 24 în produsul numerelor prime. Să găsim două numere mai mici al căror produs este egal cu numărul inițial. Puteți folosi orice factor, dar este mai ușor să folosiți numere prime. O modalitate bună este să încercați să împărțiți numărul inițial mai întâi la 2, apoi la 3, apoi la 5 și să verificați cu care dintre aceste numere prime este divizibil fără a lăsa un rest.
- Exemplu: Dacă nu cunoașteți factorii pentru numărul 24, încercați să-l împărțiți în numere prime mici. Deci veți descoperi că numărul dat este divizibil cu 2: 24 = 2 x 12. Acesta este un început bun.
- Deoarece 2 este un număr prim, este bine să îl utilizați atunci când factorați numerele pare.
-
Începeți să vă construiți arborele multiplicator. Această procedură simplă vă va ajuta să factorați un număr în factorii primi. Pentru a începe, trageți două „ramuri” în jos față de numărul inițial. La sfârșitul fiecărei ramuri scrieți factorii pe care i-ați găsit.
- Exemplu:
-
Factorizați următorul șir de numere. Aruncă o privire la cele două numere noi (al doilea rând al arborelui factorilor). Sunt ambele numere prime? Dacă unul dintre ele nu este prim, de asemenea, factorul în două. Desenați încă două ramuri și scrieți doi factori noi pe a treia linie a copacului.
- Exemplu: 12 nu este un număr prim, deci trebuie factorizat. Folosim expansiunea 12 = 2 x 6 și o scriem pe a treia linie a arborelui:
- 2 x 6
-
Continuați în jos în copac. Dacă unul dintre noii factori se dovedește a fi un număr prim, trageți o „ramură” din el și scrieți același număr la sfârșitul său. Numerele prime nu sunt luate în considerare în numere mai mici, așa că mutați-le la un nivel în jos.
- Exemplu: 2 este un număr prim. Doar mutați 2 de la a doua la a treia linie:
- 2 2 6
-
Continuați factorizarea numerelor până când rămâneți cu numere prime. Verificați fiecare nouă linie a arborelui. Dacă oricare dintre noii factori nu este un număr prim, factorizați-l și scrieți o nouă linie. În cele din urmă, vei rămâne doar cu numere prime.
- Exemplu: 6 nu este un număr prim, deci trebuie și factorizat. În același timp, 2 este un număr prim și ducem doi doi la nivelul următor:
- 2 2 6
- / / /\
- 2 2 2 3
-
Scrieți ultima linie ca produs de factori primi.În cele din urmă, vei rămâne doar cu numere prime. Când se întâmplă acest lucru, factorizarea este completă. Ultima linie este un set de numere prime, al căror produs dă numărul inițial.
- Verificați-vă răspunsul: înmulțiți numerele din ultima linie. Rezultatul ar trebui să fie numărul inițial.
- Exemplu: Ultimul rând al arborelui factorilor conține numerele 2 și 3. Ambele numere sunt prime, deci factorizarea este completă. Astfel, descompunerea numărului 24 în factori primi este următoarea: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- Ordinea factorilor nu contează. Expansiunea poate fi scrisă și ca 2 x 3 x 2 x 2.
-
Dacă doriți, simplificați răspunsul folosind notația de putere. Dacă sunteți familiarizat cu ridicarea numerelor la puteri, puteți scrie răspunsul într-o formă mai simplă. Amintiți-vă că baza este scrisă în partea de jos, iar numărul suprascriptului arată de câte ori ar trebui să fie înmulțită baza cu ea însăși.
- Exemplu: de câte ori apare numărul 2 în descompunerea găsită 2 x 2 x 2 x 3? De trei ori, deci expresia 2 x 2 x 2 poate fi scrisă ca 2 3 . În notație simplificată obținem 2 3 x 3.
Partea 2
Folosind factorizarea prime-
Aflați cel mai mare divizor comun al două numere. Cel mai mare divizor comun (MCD) a două numere este numărul maxim care împarte ambele numere fără a lăsa rest. Exemplul de mai jos arată cum se utilizează descompunerea în factori primi pentru a găsi cel mai mare divisor comun al numerelor 30 și 36.
- Să factorăm ambele numere în factori primi. Pentru numărul 30, expansiunea este 2 x 3 x 5. Numărul 36 este factorizat după cum urmează: 2 x 2 x 3 x 3.
- Să găsim un număr care apare în ambele expansiuni. Să tăiem acest număr în ambele liste și să-l scriem pe un rând nou. De exemplu, 2 apare în două expansiuni, așa că scriem 2 pe o linie nouă. Aceasta ne lasă cu 30 = 2 x 3 x 5 și 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Repetați această acțiune până când nu mai există factori comuni în expansiuni. Ambele liste conțin și numărul 3, așa că puteți scrie într-un rând nou 2 Şi 3 . După aceasta, comparați din nou expansiunile: 30 = 2 x 3 x 5 și 36 = 2 x 2 x 3 x 3. După cum puteți vedea, nu au mai rămas factori comuni în ele.
- Pentru a găsi cel mai mare factor comun, trebuie să găsiți produsul tuturor factorilor comuni. În exemplul nostru este 2 și 3, deci mcd este 2 x 3 = 6 . Acesta este cel mai mare număr care poate fi împărțit în 30 și 36 fără a lăsa un rest.
-
Folosind GCD puteți simplifica fracțiile. Dacă bănuiți că o fracție poate fi redusă, utilizați cel mai mare factor comun. Folosind procedura descrisă mai sus, găsiți mcd-ul numărătorului și numitorului. Apoi împărțiți numărătorul și numitorul fracției la acel număr. Ca rezultat, veți obține aceeași fracție într-o formă mai simplă.
- De exemplu, să simplificăm fracția 30 / 36. După cum am stabilit mai sus, pentru 30 și 36 mcd este 6, așa că împărțim numărătorul și numitorul la 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 / 36 = 5 / 6
-
Să găsim cel mai mic multiplu comun al două numere. Cel mai mic multiplu comun (LCM) a două numere este cel mai mic număr care este divizibil cu ambele numere date fără a lăsa rest. De exemplu, LCM a lui 2 și 3 este 6, deoarece este cel mai mic număr care este divizibil cu 2 și 3. Mai jos este un exemplu de găsire a LCM utilizând factorizarea primelor:
- Să începem cu două factorizări prime. De exemplu, pentru numărul 126, factorizarea poate fi scrisă ca 2 x 3 x 3 x 7. Numărul 84 este factorizat ca 2 x 2 x 3 x 7.
- Să comparăm de câte ori apare fiecare factor în expansiuni. Selectați lista în care apare multiplicatorul de numărul maxim de ori și încercuiți-o. De exemplu, numărul 2 apare o dată în listă pentru 126 și de două ori în listă pentru 84, așa că ar trebui să încercuiți 2 x 2în a doua listă de multiplicatori.
- Repetați acest pas pentru fiecare multiplicator. De exemplu, 3 apare mai des în prima expansiune, așa că ar trebui să-l încercuiești 3 x 3. Numărul 7 apare o dată în ambele liste, așa că încercuiește 7 (nu contează în ce listă, dacă un anumit multiplicator apare în ambele liste de același număr de ori).
- Pentru a găsi LCM, înmulțiți toate numerele încercuite. În exemplul nostru, cel mai mic multiplu comun al lui 126 și 84 este 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Acesta este cel mai mic număr care este divizibil cu 126 și 84 fără rest.
-
Utilizați LCM pentru a adăuga fracții. Când adăugați două fracții, trebuie să le aduceți la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, găsiți LCM a doi numitori. Apoi înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu un astfel de număr încât numitorii fracțiilor să devină egali cu LCM. După aceasta puteți adăuga fracțiile.
- De exemplu, trebuie să găsiți suma 1/6 + 4/21.
- Folosind metoda de mai sus, puteți găsi LCM pentru 6 și 21. Este egal cu 42.
- Să transformăm fracția 1/6 astfel încât numitorul ei să fie egal cu 42. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți 42 la 6: 42 ÷ 6 = 7. Acum înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 7: 1/6 x 7/7 = 7/42.
- Pentru a aduce a doua fracție la numitorul 42, împărțiți 42 la 21: 42 ÷ 21 = 2. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42.
- Odată ce fracțiile sunt reduse la același numitor, se pot adăuga cu ușurință: 7/42 + 8/42 = 15/42.