Rădăcinăn-gradul și proprietățile sale de bază
grad număr real O cu indicator natural n există o lucrare n factori, fiecare fiind egal O:
a1 = a; a2 =a·a; O n =
De exemplu,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
de 5 ori
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
de 4 ori
Număr real O numit baza gradului, iar numărul natural n este exponent.
Proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți naturali decurg direct din definiție: puterea unui număr pozitiv cu oricare n e N pozitiv; Puterea unui număr negativ cu exponent par este pozitivă, cu exponent impar este negativă.
De exemplu,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Acțiunile cu grade se realizează după cum urmează: reguli.
1. Pentru a multiplica puteri cu aceleași baze, este suficient să adăugați exponenții puterilor și să lăsați baza aceeași, adică
De exemplu, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Pentru a împărți puteri cu aceleași baze, este suficient să scazi exponentul divizorului din indicele dividendului și să lași baza aceeași, adică
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Pentru a ridica un grad la o putere, este suficient să înmulțiți exponenții, lăsând baza aceeași, adică
(ap)m = la·p. De exemplu, (23)2 = 26.
4. Pentru a ridica un produs la o putere, este suficient să ridici fiecare factor la această putere și să înmulțim rezultatele, adică
(O b)p= ap∙bn.
De exemplu, (2у3)2= 4y6.
5. Pentru a ridica o fracție la o putere, este suficient să ridicați separat numărătorul și numitorul la această putere și să împărțiți primul rezultat la al doilea, adică
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Rețineți că uneori este util să citiți aceste formule de la dreapta la stânga. În acest caz ele devin reguli. De exemplu, în cazul 4, apvp= (av)p obținem următoarea regulă: la Pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, este suficient să înmulțiți bazele, lăsând exponentul la fel.
Utilizarea acestei reguli este eficientă, de exemplu, atunci când se calculează următorul produs
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.
Să dăm acum definiția unei rădăcini.
Rădăcină gradul al n-lea dintr-un număr real O numit număr real X, a cărei putere a n-a este egală cu O.
Evident, în conformitate cu proprietățile de bază ale puterilor cu exponenți naturali, din orice număr pozitiv există două valori opuse ale rădăcinii unei puteri pare, de exemplu, numerele 4 și -4 sunt rădăcini pătrate ale lui 16, deoarece ( -4)2 = 42 = 16, iar numerele 3 și -3 sunt a patra rădăcină a lui 81, deoarece (-3)4 = 34 = 81.
Mai mult, nu există rădăcină uniformă a unui număr negativ, deoarece puterea pară a oricărui număr real este nenegativă. În ceea ce privește rădăcina impară, pentru orice număr real există o singură rădăcină impară a acelui număr. De exemplu, 3 este a treia rădăcină a lui 27, deoarece 33 = 27, iar -2 este a cincea rădăcină a lui -32, deoarece (-2)5 = 32.
Datorită existenței a două rădăcini de gradul par ale unui număr pozitiv, introducem conceptul de rădăcină aritmetică pentru a elimina această ambiguitate a rădăcinii.
Valoare nenegativă a n-a rădăcină se numește puteri ale unui număr nenegativ rădăcină aritmetică.
De exemplu, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Trebuie amintit că atunci când se rezolvă ecuații iraționale, rădăcinile lor sunt întotdeauna considerate aritmetice.
Să notăm proprietatea principală a rădăcinii a n-a.
Valoarea rădăcinii nu se va schimba dacă indicatorii rădăcinii și gradul expresiei radicale sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, adică
Exemplul 7. Reduceți la un numitor comun și
Materialul din acest articol ar trebui considerat ca parte a transformării subiectului a expresiilor iraționale. Aici vom folosi exemple pentru a analiza toate subtilitățile și nuanțele (dintre care sunt multe) care apar atunci când se efectuează transformări bazate pe proprietățile rădăcinilor.
Navigare în pagină.
Să ne amintim proprietățile rădăcinilor
Deoarece suntem pe cale să ne ocupăm de transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor, nu va strica să le amintiți pe cele principale sau chiar mai bine, să le scrieți pe hârtie și să le puneți în fața dvs.
În primul rând, sunt studiate rădăcinile pătrate și următoarele proprietăți ale acestora (a, b, a 1, a 2, ..., a k - numere reale):
Și mai târziu ideea de rădăcină este extinsă, este introdusă definiția unei rădăcini de gradul al n-lea și sunt luate în considerare următoarele proprietăți (a, b, a 1, a 2, ..., a k sunt numere reale, m, n, n 1, n 2, ... , n k - numere naturale):
Conversia expresiilor cu numere sub semne radicale
Ca de obicei, ei învață mai întâi să lucreze cu expresii numerice și abia după aceea trec la expresii cu variabile. Vom face la fel și mai întâi ne vom ocupa de transformare expresii iraţionale, conţinând numai sub semnele rădăcinilor expresii numerice, iar apoi în paragraful următor vom introduce variabile sub semnele rădăcinilor.
Cum poate fi folosit pentru a transforma expresii? Este foarte simplu: de exemplu, putem înlocui o expresie irațională cu o expresie sau invers. Adică, dacă expresia care este convertită conține o expresie care se potrivește în aparență cu expresia din partea stângă (dreapta) a oricăreia dintre proprietățile enumerate ale rădăcinilor, atunci poate fi înlocuită cu expresia corespunzătoare din partea dreaptă (stânga). Aceasta este transformarea expresiilor folosind proprietățile rădăcinilor.
Să mai dăm câteva exemple.
Să simplificăm expresia 
. Numerele 3, 5 și 7 sunt pozitive, așa că putem aplica în siguranță proprietățile rădăcinilor. Aici puteți acționa în moduri diferite. De exemplu, o rădăcină bazată pe o proprietate poate fi reprezentată ca , iar o rădăcină folosind o proprietate cu k=3 - as , cu această abordare soluția va arăta astfel: 
S-ar putea face diferit prin înlocuirea cu , și apoi cu , caz în care soluția ar arăta astfel: 
Sunt posibile și alte soluții, de exemplu:
Să ne uităm la soluția unui alt exemplu. Să transformăm expresia. Privind lista de proprietăți ale rădăcinilor, selectăm din aceasta proprietățile de care avem nevoie pentru a rezolva exemplul, este clar că două dintre ele sunt utile aici și , care sunt valabile pentru orice a . Avem: 
Alternativ, se pot transforma mai întâi expresiile radicale folosind 
și apoi aplicați proprietățile rădăcinilor
Până în acest moment, am convertit expresii care conțin doar rădăcini pătrate. Este timpul să lucrăm cu rădăcini care au indicatori diferiți.
Exemplu.
Convertiți expresia irațională 
.
Soluţie.
După proprietate 
primul factor al unui produs dat poate fi înlocuit cu numărul −2: 
Să mergem mai departe. În virtutea proprietății, al doilea factor poate fi reprezentat ca , și nu ar strica să înlocuim 81 cu o putere cvadruplă de trei, deoarece în factorii rămași numărul 3 apare sub semnele rădăcinilor: 
Este recomandabil să înlocuiți rădăcina unei fracții cu un raport de rădăcini de forma , care poate fi transformat în continuare: 
. Avem
După efectuarea operațiilor cu doi, expresia rezultată va lua forma , și tot ce rămâne este să transformăm produsul rădăcinilor.
Pentru a transforma produsele rădăcinilor, acestea sunt de obicei reduse la un singur indicator, pentru care este recomandabil să luați indicatorii tuturor rădăcinilor. În cazul nostru, LCM(12, 6, 12) = 12 și doar rădăcina va trebui redusă la acest indicator, deoarece celelalte două rădăcini au deja un astfel de indicator. Egalitatea, care se aplică de la dreapta la stânga, ne permite să facem față acestei sarcini. Deci . Ținând cont de acest rezultat, avem 
Acum produsul rădăcinilor poate fi înlocuit cu rădăcina produsului și transformările rămase, deja evidente, pot fi efectuate: 
Să scriem o versiune scurtă a soluției: 
Răspuns:
.
Subliniem separat că pentru a aplica proprietățile rădăcinilor este necesar să se țină cont de restricțiile impuse numerelor sub semnele rădăcinilor (a≥0 etc.). Ignorarea acestora poate duce la rezultate incorecte. De exemplu, știm că proprietatea este valabilă pentru a nenegativ. Pe baza acestuia, ne putem deplasa cu ușurință, de exemplu, de la la, deoarece 8 este un număr pozitiv. Dar dacă luăm o rădăcină semnificativă a unui număr negativ, de exemplu, și, pe baza proprietății indicate mai sus, o înlocuim cu , atunci înlocuim de fapt −2 cu 2. Într-adevăr, ah. Adică, pentru negativ a egalitatea poate fi incorectă, la fel cum alte proprietăți ale rădăcinilor pot fi incorecte fără a ține cont de condițiile specificate pentru ele.
Dar ceea ce s-a spus în paragraful anterior nu înseamnă deloc că expresiile cu numere negative sub semnele rădăcinilor nu pot fi transformate folosind proprietățile rădăcinilor. Trebuie doar să fie „pregătiți” mai întâi prin aplicarea regulilor de operare cu numere sau folosind definiția unei rădăcini impare a unui număr negativ, care corespunde egalității , unde −a este un număr negativ (în timp ce a este pozitiv). De exemplu, nu poate fi înlocuit imediat cu , deoarece −2 și −3 sunt numere negative, dar ne permite să ne mutăm de la rădăcină la , și apoi să aplicăm în continuare proprietatea rădăcinii unui produs: 
. Și într-unul dintre exemplele anterioare, a fost necesar să trecem de la rădăcină la rădăcină a puterii a optsprezecelea nu așa, ci așa 
.
Deci, pentru a transforma expresii folosind proprietățile rădăcinilor, aveți nevoie
- selectați proprietatea potrivită din listă,
- asigurați-vă că numerele de sub rădăcină îndeplinesc condițiile pentru proprietatea selectată (în caz contrar, trebuie să efectuați transformări preliminare),
- și efectuează transformarea intenționată.
Conversia expresiilor cu variabile sub semne radicale
Pentru a transforma expresii iraționale care conțin nu numai numere, ci și variabile sub semnul rădăcinii, proprietățile rădăcinilor enumerate în primul paragraf al acestui articol trebuie aplicate cu atenție. Acest lucru se datorează în mare parte condițiilor pe care trebuie să le îndeplinească numerele implicate în formule. De exemplu, pe baza formulei, expresia poate fi înlocuită cu o expresie numai pentru acele valori ale lui x care îndeplinesc condițiile x≥0 și x+1≥0, deoarece formula specificată este specificată pentru a≥0 și b ≥0.
Care sunt pericolele ignorării acestor condiții? Răspunsul la această întrebare este demonstrat clar de următorul exemplu. Să presupunem că trebuie să calculăm valoarea unei expresii la x=−2. Dacă înlocuim imediat numărul −2 în loc de variabila x, vom obține valoarea de care avem nevoie 
. Acum să ne imaginăm că, pe baza unor considerații, am convertit expresia dată în forma și abia după aceea am decis să calculăm valoarea. Inlocuim numarul −2 cu x si ajungem la expresia 
, ceea ce nu are sens.
Să vedem ce se întâmplă cu intervalul de valori admisibile (APV) ale variabilei x atunci când treceți de la o expresie la alta. Nu întâmplător am menționat ODZ, deoarece acesta este un instrument serios de monitorizare a admisibilității transformărilor efectuate, iar o modificare a ODZ după transformarea unei expresii ar trebui, cel puțin, să trezească semnale roșii. Găsirea ODZ pentru aceste expresii nu este dificilă. Pentru că expresia ODZ este determinată din inegalitatea x·(x+1)≥0, soluția ei dă mulțimea numerică (−∞, −1]∪∪∪)