Dacă unghiul este negativ atunci. Măsurarea unghiurilor. Măsurarea unghiurilor folosind arce de cerc. Unități pentru arce și unghiuri

Un concept important în trigonometrie este unghi de rotatie. Mai jos vom oferi în mod constant o idee despre turneu și vom introduce toate conceptele aferente. Să începem cu o idee generală a unei viraj, să spunem o rotație completă. În continuare, să trecem la conceptul de unghi de rotație și să luăm în considerare principalele sale caracteristici, cum ar fi direcția și mărimea rotației. În cele din urmă, dăm definiția rotației unei figuri în jurul unui punct. Vom oferi întreaga teorie în text cu exemple explicative și ilustrații grafice.

Navigare în pagină.

Cum se numește rotația unui punct în jurul unui punct?

Să remarcăm imediat că, împreună cu expresia „rotire în jurul unui punct”, vom folosi și expresiile „rotire în jurul unui punct” și „rotire în jurul unui punct”, care înseamnă același lucru.

Să vă prezentăm conceptul de întoarcere a unui punct în jurul unui punct.

Mai întâi, să definim centrul de rotație.

Definiţie.

Se numește punctul în jurul căruia se face rotația centrul de rotație.

Acum, să spunem ce se întâmplă ca urmare a rotirii punctului.

În urma rotirii unui anumit punct A în raport cu centrul de rotație O, se obține un punct A 1 (care, în cazul unui anumit număr, poate coincide cu A), iar punctul A 1 se află pe un cerc cu o centru în punctul O al razei OA. Cu alte cuvinte, atunci când este rotit în raport cu punctul O, punctul A merge în punctul A 1 situat pe un cerc cu un centru în punctul O cu raza OA.

Se crede că punctul O, atunci când se întoarce în jurul său, se transformă în sine. Adică, ca rezultat al rotației în jurul centrului de rotație O, punctul O se transformă în sine.

De asemenea, este de remarcat faptul că rotația punctului A în jurul punctului O ar trebui considerată ca o deplasare ca urmare a mișcării punctului A într-un cerc cu un centru în punctul O al razei OA.

Pentru claritate, vom oferi o ilustrare a rotației punctului A în jurul punctului O în figurile de mai jos, vom arăta mișcarea punctului A către punctul A1 folosind o săgeată.

Turn complet

Este posibil să se rotească punctul A în raport cu centrul de rotație O, astfel încât punctul A, după ce a trecut de toate punctele cercului, va fi în același loc. În acest caz, ei spun că punctul A s-a deplasat în jurul punctului O.

Să dăm o ilustrare grafică a unei revoluții complete.

Dacă nu vă opriți la o singură rotație, ci continuați să mutați punctul în jurul cercului, atunci puteți efectua două, trei și așa mai departe revoluții complete. Desenul de mai jos arată cum se pot face două ture complete la dreapta și trei ture la stânga.

Conceptul unghiului de rotație

Din conceptul de rotire a unui punct introdus în primul paragraf, este clar că există un număr infinit de opțiuni pentru rotirea punctului A în jurul punctului O. Într-adevăr, orice punct dintr-un cerc cu un centru în punctul O cu raza OA poate fi considerat ca punct A 1 obținut ca urmare a rotației punctului A. Prin urmare, pentru a distinge o tură de alta, introducem conceptul de unghi de rotație.

Una dintre caracteristicile unghiului de rotație este sensul de rotatie. Direcția de rotație determină dacă punctul este rotit în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

O altă caracteristică a unghiului de rotație este sa magnitudinea. Unghiurile de rotație sunt măsurate în aceleași unități ca: grade și radiani sunt cele mai comune. Este de remarcat aici că unghiul de rotație poate fi exprimat în grade prin orice număr real de la minus infinit la plus infinit, spre deosebire de unghiul din geometrie, a cărui valoare în grade este pozitivă și nu depășește 180.

Literele mici ale alfabetului grecesc sunt de obicei folosite pentru a indica unghiurile de rotație: etc. Pentru a desemna un număr mare de unghiuri de rotație, este adesea folosită o literă cu indice, de exemplu, .

Acum să vorbim despre caracteristicile unghiului de rotație mai detaliat și în ordine.

Direcția de întoarcere

Punctele A și A 1 să fie marcate pe un cerc cu centrul în punctul O. Puteți ajunge la punctul A 1 din punctul A rotind în jurul centrului O fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic. Este logic să considerăm aceste viraje diferite.

Să ilustrăm rotații într-o direcție pozitivă și negativă. Desenul de mai jos arată rotația într-o direcție pozitivă în stânga și într-o direcție negativă în dreapta.

Valoarea unghiului de rotație, unghiul de valoare arbitrară

Unghiul de rotație al unui punct altul decât centrul de rotație este complet determinat prin indicarea mărimii acestuia, pe de altă parte, după mărimea unghiului de rotație se poate judeca modul în care a fost efectuată această rotație.

După cum am menționat mai sus, unghiul de rotație în grade este exprimat ca un număr de la −∞ la +∞. În acest caz, semnul plus corespunde unei rotații în sensul acelor de ceasornic, iar semnul minus corespunde unei rotații în sens invers acelor de ceasornic.

Acum rămâne de stabilit o corespondență între valoarea unghiului de rotație și rotația căreia îi corespunde.

Să începem cu unghiul de rotație, egal cu zero grade. Acest unghi de rotație corespunde mișcării punctului A spre sine. Cu alte cuvinte, atunci când este rotit cu 0 grade în jurul punctului O, punctul A rămâne pe loc.

Se trece la rotirea punctului A în jurul punctului O, în care rotația are loc în decurs de o jumătate de rotație. Vom presupune că punctul A merge la punctul A 1. În acest caz, valoarea absolută a unghiului AOA 1 în grade nu depășește 180. Dacă rotația a avut loc în sens pozitiv, atunci valoarea unghiului de rotație este considerată egală cu valoarea unghiului AOA 1, iar dacă rotația a avut loc în sens negativ, atunci valoarea sa este considerată egală cu valoarea unghiului. AOA 1 cu semnul minus. Ca exemplu, iată o imagine care arată unghiuri de rotație de 30, 180 și -150 de grade.

Unghiurile de rotație mai mari de 180 de grade și mai mici de -180 de grade sunt determinate pe baza următoarelor, destul de evidente proprietăţile spirelor succesive: mai multe rotații succesive ale punctului A în jurul centrului O sunt echivalente cu o rotație, a cărei mărime este egală cu suma mărimilor acestor rotații.

Să dăm un exemplu care ilustrează această proprietate. Să rotim punctul A în raport cu punctul O cu 45 de grade, apoi să rotim acest punct cu 60 de grade, după care să rotim acest punct cu -35 de grade. Să notăm punctele intermediare în timpul acestor ture ca A 1, A 2 și A 3. Am putea ajunge la același punct A 3 efectuând o rotație a punctului A la un unghi de 45+60+(−35)=70 de grade.

Deci, vom reprezenta unghiuri de rotație mai mari de 180 de grade ca mai multe spire succesive pe unghiuri, a căror sumă dă valoarea unghiului de rotație inițial. De exemplu, un unghi de rotație de 279 de grade corespunde rotațiilor succesive de 180 și 99 de grade, sau 90, 90, 90 și 9 grade, sau 180, 180 și -81 de grade, sau 279 de rotații succesive de 1 grad.

Unghiurile de rotație mai mici de -180 de grade sunt determinate în mod similar. De exemplu, un unghi de rotație de -520 de grade poate fi interpretat ca rotații succesive ale punctului cu -180, -180 și -160 de grade.

Să rezumam. Am determinat unghiul de rotație, a cărui valoare în grade este exprimată printr-un număr real din intervalul de la −∞ la +∞. În trigonometrie, vom lucra în mod specific cu unghiuri de rotație, deși cuvântul „rotație” este adesea omis și se spune pur și simplu „unghi”. Astfel, în trigonometrie vom lucra cu unghiuri de mărime arbitrară, prin care înțelegem unghiuri de rotație.

Pentru a încheia acest punct, observăm că o rotație completă în direcția pozitivă corespunde unui unghi de rotație de 360 de grade (sau 2 π radiani), iar în direcție negativă - un unghi de rotație de -360 de grade (sau -2 π rad) . În acest caz, este convenabil să se reprezinte unghiuri mari de rotație ca un anumit număr de rotații complete și o altă rotație la un unghi cuprins între -180 și 180 de grade. De exemplu, să luăm un unghi de rotație de 1.340 de grade. Este ușor să ne imaginăm 1.340 ca 360·4+(−100) . Adică, unghiul de rotație inițial corespunde la 4 ture complete în direcția pozitivă și o rotație ulterioară de -100 de grade. Un alt exemplu: un unghi de rotație de −745 grade poate fi interpretat ca două rotații în sens invers acelor de ceasornic urmate de o rotație de −25 grade, deoarece −745=(−360) 2+(−25) .

Rotiți o formă în jurul unui punct cu un unghi

Conceptul de rotație a punctelor este ușor de extins la rotiți orice formă în jurul unui punct cu un unghi (despre care vorbim despre o astfel de rotație încât atât punctul în jurul căruia se efectuează rotația, cât și figura care se rotește se află în același plan).

Prin rotirea unei figuri înțelegem rotirea tuturor punctelor figurii în jurul punct dat la un unghi dat.

Ca exemplu, să ilustrăm următoarea acțiune: rotiți segmentul AB cu un unghi față de punctul O acest segment, când este rotit, va intra în segmentul A 1 B 1;

Referințe.

Algebră: Manual pentru clasa a IX-a. medie scoala/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra și începuturile analizei: manual. pentru clasele 10-11. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Educaţie, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. învăţământul general instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.

Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost obținute de astronomi pentru a crea un calendar precis și o orientare a stelelor. Aceste calcule se refereau la trigonometria sferică, în timp ce în curs şcolar studiază raporturile laturilor și unghiurilor unui triunghi plan.

Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă de proprietățile funcții trigonometriceși relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.

În perioada de glorie a culturii și științei în mileniul I d.Hr., cunoașterea s-a răspândit din Orientul antic spre Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul oamenilor din Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazwi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta și a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptele de sinus și cosinus au fost introduse de oamenii de știință indieni. Trigonometria a primit multă atenție în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.

Mărimi de bază ale trigonometriei

Funcții trigonometrice de bază argument numeric– acestea sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai bine cunoscut școlarilor în formularea: „ pantaloni pitagoreici, sunt egale în toate direcțiile”, deoarece demonstrația este dată folosind exemplul unui isoscel triunghi dreptunghic.

Sinus, cosinus și alte relații stabilesc relația dintre unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Să dăm formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și să urmărim relațiile dintre funcțiile trigonometrice:

După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă ne imaginăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:

Cercul trigonometric

Grafic, relația dintre cantitățile menționate poate fi reprezentată astfel:

Circumferința, în în acest caz,, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia o valoare negativă sau pozitivă în funcție de unghi. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține primului și al doilea sferturi de cerc, adică se află în intervalul de la 0° la 180°. Pentru α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru anumite unghiuri și să aflăm semnificația cantităților.

Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe sunt numite cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu au fost alese la întâmplare. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea arcului de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdus pentru a stabili o dependență universală la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.

Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:

Deci, nu este greu de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360°.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.

Luați în considerare tabelul comparativ de proprietăți pentru sinus și cosinus:

Unda sinusoidala	Cosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z	cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z
sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = 1, la x = 2πk, unde k ϵ Z
sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, adică funcția este impară	cos (-x) = cos x, adică funcția este pară
	funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π
sin x › 0, cu x aparținând trimestrului 1 și 2 sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, cu x aparținând celui de-al treilea și al patrulea sferturi sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, cu x aparținând trimestrului 2 și 3 sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
crește în intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk]
scade pe intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	scade pe intervale
derivată (sin x)’ = cos x	derivată (cos x)’ = - sin x

Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să vă imaginați un cerc trigonometric cu semnele cantităților trigonometrice și să „pliați” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele coincid, funcția este pară, în caz contrar, este impară.

Introducerea radianilor și listarea proprietăților de bază ale undelor sinus și cosinus ne permit să prezentăm următorul model:

Este foarte ușor să verifici dacă formula este corectă. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin consultarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.

Proprietățile tangentsoidelor și cotangentsoidelor

Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de funcțiile sinus și cosinus. Valorile tg și ctg sunt reciproce reciproce.

Y = tan x.
Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
Tg (- x) = - tg x, adică funcția este impară.
Tg x = 0, pentru x = πk.
Funcția este în creștere.
Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivată (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Luați în considerare imaginea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.

Principalele proprietăți ale cotangentoidelor:

Y = pat x.
Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
Cea mai mică perioadă pozitivă a unui cotangentoid este π.
Ctg (- x) = - ctg x, adică funcția este impară.
Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
Funcția este în scădere.
Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivată (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Corect

Alpha înseamnă număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulțimea infinită de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate în următoarea formă:

Pentru a demonstra clar că au dreptate, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe șamani care dansează cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele dintre camere sunt neocupate și se mută noi oaspeți, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Relocarea unui număr infinit de vizitatori necesită o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră pentru un oaspete, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod stupid, dar acesta va fi în categoria „nicio lege nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel fără sfârșit”? Un hotel infinit este un hotel care are întotdeauna orice număr de paturi goale, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă sunt ocupate toate camerele din nesfârșitul coridor „vizitator”, există un alt coridor nesfârșit cu camere „de oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. Mai mult, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii nu sunt capabili să se distanțeze de problemele banale de zi cu zi: există întotdeauna un singur Dumnezeu-Allah-Buddha, există un singur hotel, există un singur coridor. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem imposibilul”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspunzi la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece numerele le-am inventat noi înșine, numerele nu există în Natură. Da, Natura se pricepe la numărătoare, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. Îți voi spune ce crede Natura altădată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Să luăm în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine oamenilor de știință adevărați.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și de unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua unul din setul pe care l-am luat deja și îl putem întoarce la raft. După aceea, putem lua unul de pe raft și îl putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, vom obține din nou un set infinit de numere naturale. Puteți nota toate manipulările noastre astfel:

Am înregistrat acțiunile în sistem algebric notație și în sistemul de notație adoptat în teoria mulțimilor, cu o enumerare detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raftul nostru. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Să luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce obținem:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă adăugați un alt set infinit unui set infinit, rezultatul este un nou set infinit format din elementele primelor două seturi.

Mulțimea numerelor naturale este folosită pentru numărare la fel ca o riglă pentru măsurare. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi o linie diferită, nu egală cu cea originală.

Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează un stereotip stabil de gândire în noi și abia apoi se adaugă la noi. abilități mentale(sau invers, ne privează de gândirea liberă).

Duminică, 4 august 2019

Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogat baza teoretica Matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de sistem comunși bază de dovezi.”

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Ne este greu să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am primit următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea sens diferit. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Să ne uităm la un exemplu.

Să avem destule O format din patru persoane. Acest set este format pe baza „oamenilor”. Să notăm elementele acestui set prin literă O, indicele cu un număr va indica numărul de serie al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „gen” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului O bazate pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum un set de „oameni cu caracteristici de gen”. După aceasta putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici sexuale. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care - bărbat sau femeie. Dacă o persoană o are, atunci o înmulțim cu unu, dacă nu există un astfel de semn, o înmulțim cu zero. Și apoi folosim matematica obișnuită de la școală. Uite ce sa întâmplat.

După înmulțire, reducere și rearanjare, am ajuns să avem două submulțimi: submulțimea bărbaților Bmși un subgrup de femei Bw. Matematicienii raționează aproximativ în același mod atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne spun detaliile, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni constau dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare: cât de corect a fost aplicată matematica în transformările prezentate mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că în esență totul a fost făcut corect este suficient să cunoașteți baza matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor ramuri ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac din teoria seturilor o relicvă a trecutului. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au acționat ca odinioară șamanii. Doar șamanii știu cum să-și aplice „în mod corect” „cunoștințele”. Ei ne învață această „cunoaștere”.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor... au fost implicate în studiul problemei; analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparate matematice Utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltată, fie nu a fost aplicată aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie paradox logic poate fi depășită foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ce vreau să subliniez atenție deosebită, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

V-am spus deja asta cu ajutorul căruia şamanii încearcă să sorteze „“ realitatea. Cum fac ei asta? Cum are loc de fapt formarea unui set?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre două fraze: „concepibil ca întreg” și „concebibil ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, setul. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea unei mulțimi. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente individuale („întregul”), din care se va forma apoi o multitudine („întregul unic”). În același timp, factorul care face posibilă combinarea „întregului” într-un „unic întreg” este monitorizat cu atenție, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne arate.

Vă voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solidul roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Acesta este modul în care șamanii își obțin hrana legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid cu un coș și o fundă” și să combinăm aceste „întregări” în funcție de culoare, selectând elementele roșii. Avem mult „roșu”. Acum întrebarea finală: seturile rezultate „cu arc” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa va fi.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „solid roșu cu un coș și o fundă”. Formarea a avut loc în patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (coșuri), decor (cu fundă). Doar un set de unități de măsură ne permite să descriem în mod adecvat obiectele reale în limbajul matematicii. Așa arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. Unitățile de măsură prin care se distinge „întregul” în etapa preliminară sunt evidențiate între paranteze. Unitatea de măsură prin care se formează setul este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități de măsură pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansul șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând că este „evident”, deoarece unitățile de măsură nu fac parte din arsenalul lor „științific”.

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.

Sâmbătă, 30 iunie 2018

Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic despre matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.

Astăzi, tot ceea ce nu luăm aparține unui set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă cu seturile cărora le aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca șamanii matematicieni să le introducă în seturile lor.

Cu mult timp în urmă, când nimeni nu auzise vreodată de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreiera câmpurile fizice (la urma urmei, șamanii nu inventaseră încă câmpurile matematice). Arătau cam așa.

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele mulțimilor sunt cel mai asemănătoare cu arici de mare- dintr-un punct, precum acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca o grămadă de segmente ieșite în afară laturi diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această piesă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Ce unități de măsură formează un element al unei mulțimi? Tot felul de lucruri care descriu un anumit element din puncte de vedere diferite. Acestea sunt unități de măsură străvechi pe care strămoșii noștri le-au folosit și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt și unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.

Am aranjat geometria - modelul propus al elementelor mulțimii are o reprezentare geometrică clară. Dar fizica? Unitățile de măsură sunt legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina adevărata știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor am vorbit despre ea ca fiind în epoca de piatră.

Dar să trecem la cel mai interesant lucru - algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al unei mulțimi este un produs (rezultatul înmulțirii) a unor cantități diferite.

În mod deliberat, nu am folosit convențiile teoriei mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi în mediul său natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o cantitate separată, constând dintr-un număr indicat de litera " n" și unitatea de măsură indicată prin litera " o". Indicii de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al mulțimii poate consta dintr-un număr infinit de cantități (atât cât noi și descendenții noștri avem suficientă imaginație). Fiecare paranteză este reprezentată geometric. ca un segment separat În exemplul cu arici de mare, un bracket este un ac.

Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic despre matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic, de-a lungul căruia formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului, dacă nu există un astfel de ac, atunci acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele de gândire și despre întreg.

După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unor seturi foarte diferite. În continuare vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamanice. După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru poate fi aplicat altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...

Și acum am cel mai mult intrebare interesanta: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Alpha reprezintă numărul real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu mulțimea infinită de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate în următoarea formă:

Am notat acțiunile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, cu o listă detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă aceeași unitate.

Poți să accepți sau să nu accepți raționamentul meu - este treaba ta. Dar dacă întâmpinați vreodată probleme de matematică, gândiți-vă dacă urmați calea raționamentului fals călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, studiul matematicii, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi se adaugă la abilitățile noastre mentale (sau, dimpotrivă, ne privează de gândirea liberă).

Duminică, 4 august 2019

Termineam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogata bază teoretică a matematicii Babilonului nu avea un caracter holistic și s-a redus la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi”.

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu este de natură holistică și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic o serie întreagă de publicații celor mai evidente greșeli ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

În ceea ce privește superseturile, puteți combina două seturi într-un singur superset selectând unitatea de măsură prezentă în elementele acestor două seturi.

În concluzie, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ceea ce vreau să atrag atenția în mod deosebit este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

V-am spus deja asta cu ajutorul căruia şamanii încearcă să sorteze „“ realitatea. Cum fac ei asta? Cum are loc de fapt formarea unui set?

Folosind unități de măsură, este foarte ușor să împărțiți un set sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă la algebra acestui proces.

Sâmbătă, 30 iunie 2018

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele setului sunt cel mai asemănătoare cu aricii de mare - dintr-un punct, cum ar fi acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca o grămadă de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această piesă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

O pereche de raze diferite Oa și Ob care emană dintr-un punct O se numește unghi și se notează prin simbolul (a, b). Punctul O se numește vârful unghiului, iar razele Oa și Ob se numesc laturile unghiului. Dacă A și B sunt două puncte ale razelor Oa și Ob, atunci (a, b) se notează și prin simbolul AOB (Fig. 1.1).

Un unghi (a, b) se numește desfășurat dacă razele Oa și Ob care ies din același punct se află pe aceeași linie dreaptă și nu coincid (adică direcții opuse).

Fig.1.1

Două unghiuri sunt considerate egale dacă un unghi poate fi suprapus peste celălalt astfel încât laturile unghiurilor să coincidă. Bisectoarea unui unghi este o rază cu originea la vârful unghiului, împărțind unghiul în două unghiuri egale.

Ei spun că raza OS care emană de la vârful unghiului AOB se află între laturile sale dacă intersectează segmentul AB (Fig. 1.2). Se spune că punctul C se află între laturile unui unghi dacă prin acest punct este posibil să se deseneze o rază cu originea la vârful unghiului și situată între laturile unghiului. Ansamblul tuturor punctelor planului situate între laturile unghiului formează regiunea internă a unghiului (Fig. 1.3). Setul de puncte ale planului care nu aparțin regiunii interne și laturilor unghiului formează regiunea exterioară a unghiului.

Unghiul (a, b) este considerat mai mare decât unghiul (c, d) dacă unghiul (c, d) poate fi suprapus peste unghiul (a, b), astfel încât, după combinarea unei perechi de laturi, a doua latură a unghiului (c, d) va fi situat între laturile unghiului (a, b). În fig. 1.4 AOB este mai mare decât AOC.

Fie raza c să se afle între laturile unghiului (a, b) (Fig. 1.5). Perechile de raze a, c și c, b formează două unghiuri. Unghiul (a, b) se spune că este suma a două unghiuri (a, c) și (c, b) și scriu: (a, b) = (a, c) + (c, b).

Fig.1.3

De obicei, în geometrie avem de-a face cu unghiuri mai mici decât unghiul desfășurat. Cu toate acestea, adăugarea a două unghiuri poate avea ca rezultat un unghi mai mare decât cel desfășurat. În acest caz, acea parte a avionului care este luată în considerare zona interioara unghi, marcat cu un arc. În fig. 1.6, partea interioară a unghiului AOB, obținută prin adăugarea unghiurilor AOS și COB și a celui mai mare desfășurat, este marcată cu arc.

Fig.1.5

Există și unghiuri mai mari de 360°. Astfel de unghiuri sunt formate, de exemplu, prin rotirea elicei unui avion, rotația unui tambur pe care este înfășurată o frânghie etc.

În viitor, atunci când luăm în considerare fiecare unghi, vom fi de acord să considerăm una dintre laturile acestui unghi ca latură inițială, iar cealaltă ca latură finală.

Orice unghi, de exemplu unghiul AOB (Fig. 1.7), poate fi obținut prin rotirea unui fascicul în mișcare în jurul vârfului O de la latura inițială a unghiului (OA) la latura sa finală (OB). Vom măsura acest unghi, ținând cont de numărul total de rotații făcute în jurul punctului O, precum și de direcția în care s-a produs rotația.

Unghiuri pozitive și negative.

Să avem un unghi format din razele OA și OB (Fig. 1.8). Fasciculul în mișcare, care se rotește în jurul punctului O din poziția sa inițială (OA), își poate lua poziția finală (OB) la două diverse direcții rotirea x. Aceste direcții sunt prezentate în Figura 1.8 prin săgețile corespunzătoare.

Fig.1.7

Așa cum pe axa numerelor una dintre cele două direcții este considerată pozitivă și cealaltă negativă, se disting și două direcții diferite de rotație ale fasciculului în mișcare. Am convenit să considerăm direcția pozitivă de rotație ca fiind direcția opusă direcției de rotație în sensul acelor de ceasornic. Sensul de rotație care coincide cu sensul de rotație în sensul acelor de ceasornic este considerat negativ.

Conform acestor definiții, unghiurile sunt, de asemenea, clasificate în pozitive și negative.

Un unghi pozitiv este unghiul format de rotirea fasciculului în mișcare în jurul acestuia punct de plecareîntr-o direcție pozitivă.

Figura 1.9 prezintă câteva unghiuri pozitive. (Directia de rotatie a fasciculului in miscare este indicata in desene prin sageti.)

Un unghi negativ este unghiul format prin rotirea fasciculului în mișcare în jurul punctului de plecare într-o direcție negativă.

Figura 1.10 prezintă câteva unghiuri negative. (Directia de rotatie a fasciculului in miscare este indicata in desene prin sageti.)

Dar două raze coincidente pot forma și unghiuri +360°n și -360°n (n = 0,1,2,3,...). Să notăm cu b cel mai mic unghi nenegativ posibil de rotație care transferă fasciculul OA în poziția OB. Dacă acum raza OB face o revoluție completă suplimentară în jurul punctului O, atunci obținem o valoare diferită a unghiului, și anume: ABO = b + 360°.

Măsurarea unghiurilor folosind arce de cerc. Unități pentru arce și unghiuri

În unele cazuri, se dovedește a fi convenabil să măsurați unghiurile folosind arce circulare. Posibilitatea unei astfel de măsurători se bazează pe binecunoscuta propunere a planimetriei că într-un cerc (sau în cercuri egale) unghiurile centrale și arcele corespunzătoare sunt direct proporționale.

Să fie luată un arc dintr-un cerc dat ca unitate de măsură a arcelor. Să luăm ca unitate de măsură pentru unghiuri unghiul central corespunzător acestui arc. În această condiție, orice arc de cerc și unghiul central corespunzător acestui arc vor conține același număr de unități de măsură. Prin urmare, prin măsurarea arcelor de cerc, se poate determina valoarea unghiurilor centrale corespunzătoare acestor arce.

Să ne uităm la cele două sisteme cele mai comune pentru măsurarea arcurilor și unghiurilor.

Măsura gradului de unghiuri

La măsurarea unghiurilor în grade, un unghi de un grad (notat cu 1?) este luat ca unitate de măsură de bază a unghiurilor (unghiul de referință cu care sunt comparate diferite unghiuri). Un unghi de un grad este un unghi egal cu 1/180 din unghiul inversat. Un unghi egal cu 1/60 dintr-un unghi de 1° este un unghi de un minut (notat cu 1"). Un unghi egal cu 1/60 dintr-un unghi de un minut este un unghi de o secundă (notat cu 1").

Măsura radianilor unghiurilor

Împreună cu măsura gradului Pentru măsurarea unghiurilor în geometrie și trigonometrie se folosește o altă măsură a unghiurilor, numită radian. Să considerăm un cerc de rază R cu centrul O. Să desenăm două raze O A și OB astfel încât lungimea arcului AB să fie egală cu raza cercului (Fig. 1.12). Unghiul central rezultat AOB va fi un unghi de un radian. Un unghi de 1 radian este luat ca unitate de măsură în radian pentru unghiuri. La măsurarea unghiurilor în radiani, unghiul rotit este egal cu p radiani.

Unitățile de măsură ale unghiurilor de grad și radiani sunt legate prin egalități:

1 radian =180?/р57° 17" 45"; 1?=p/180 radiani0,017453 radiani;

1"=p/180*60 radian0,000291 radian;

1""=p/180*60*60 radiani0,000005 radiani.

Măsura gradului (sau radianului) a unui unghi se mai numește și mărimea unghiului. Unghiul AOB este uneori notat /

Clasificarea unghiurilor

Un unghi egal cu 90°, sau în radian p/2, se numește unghi drept; este adesea notat cu litera d. Un unghi mai mic de 90° se numește acut; Un unghi mai mare de 90° dar mai mic de 180° se numește obtuz.

Două unghiuri care au o latură comună și se adună până la 180° se numesc unghiuri adiacente. Două unghiuri care au o latură comună și se adună până la 90° se numesc unghiuri suplimentare.