În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs vectorial al vectorilorŞi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). Este în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Acest lucru este greșit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs punctual, chiar sarcini tipice vor fi mai puține. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au lăsat deja convinși, este A NU FACE GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv. Am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea; munca practica

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două sau chiar trei bile. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cu după cum urmează: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci care este diferenta? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diferite literaturi educaționale, desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera.

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiţie: produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția bucată cu bucată, există o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal ca lungime și opus ca direcție (culoarea zmeurului). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Nota : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMIEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să obținem a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază are corect orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mâna dreaptă . Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare degetul mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în interior laturi diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci în cazul general nu va fi posibil să-l combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta și spre stânga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne să aflăm ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „adună” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenera paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul de zero sau 180 de grade egal cu zero, și prin urmare aria este zero

Astfel, dacă , atunci Şi . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este, de asemenea, egal cu zero.

Caz special– produsul vectorial al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice poate fi necesar tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Întrucât întrebarea era despre lungime, indicăm dimensiunea în răspuns - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial despre care am fost întrebați zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar răspuns. Poate părea literal, dar există o mulțime de profesori literali printre ei, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, în general, triunghiurile te pot chinui.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Mutăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresii pentru vectori.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca urmare, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție rapidăși răspunsul la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile ar trebui schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
O)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmații această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, sens geometricși câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produs de trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiţie: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit. Sunt obișnuit să desemnez un produs mixt prin , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definiție produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Nota : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul al volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu produsul dintre lungimile acestor vectori și unghiul unghiului care se află între ei.

Este bine când condițiile dau lungimile acelorași vectori. Cu toate acestea, se întâmplă și ca formula pentru aria unui paralelogram construit pe vectori să poată fi aplicată numai după calcule folosind coordonate.
Dacă aveți noroc și condițiile dau lungimile vectorilor, atunci trebuie doar să aplicați formula, despre care am discutat deja în detaliu în articol. Aria va fi egală cu produsul modulelor și sinusul unghiului dintre ele:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram construit pe vectori.

Sarcină: Paralelogramul este construit pe vectorii și . Aflați aria dacă , iar unghiul dintre ele este de 30°.
Să exprimăm vectorii prin valorile lor:

Poate ai o întrebare - de unde vin zerourile? Merită să ne amintim că lucrăm cu vectori și pentru ei . de asemenea, rețineți că, dacă rezultatul este , acesta va fi convertit în . Acum efectuăm calculele finale:

Să revenim la problema când lungimile vectorilor nu sunt specificate în condiții. Dacă paralelogramul dvs. se află în sistemul de coordonate carteziene, atunci va trebui să faceți următoarele.

Calculul lungimilor laturilor unei figuri date prin coordonate

Pentru început, găsim coordonatele vectorilor și scădem coordonatele corespunzătoare ale începutului din coordonatele de sfârșit. Să presupunem că coordonatele vectorului a sunt (x1;y1;z1), iar vectorul b este (x3;y3;z3).
Acum găsim lungimea fiecărui vector. Pentru a face acest lucru, fiecare coordonată trebuie să fie pătrat, apoi trebuie adăugate rezultatele obținute și rădăcina extrasă din numărul final. Pe baza vectorilor noștri vor fi următoarele calcule:


Acum trebuie să găsești produs punctual vectorii noștri. Pentru a face acest lucru, coordonatele lor corespunzătoare sunt înmulțite și adăugate.

Având lungimile vectorilor și produsul lor scalar, putem găsi cosinusul unghiului care se află între ei .
Acum putem găsi sinusul aceluiași unghi:
Acum avem toate cantitățile necesare și putem găsi cu ușurință aria unui paralelogram construit pe vectori folosind formula deja cunoscută.

Să ne amintim mai întâi ce este un produs vectorial.

Nota 1

Opera de artă vectorială pentru $\vec(a)$ și $\vec(b)$ este $\vec(c)$, care este un al treilea vector $\vec(c)= ||$, iar acest vector are proprietăți speciale:

• Scalarul vectorului rezultat este produsul dintre $|\vec(a)|$ și $|\vec(b)|$ cu sinusul unghiului $\vec(c)= ||= |\vec(a) )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Toate $\vec(a), \vec(b)$ și $\vec(c)$ formează un triplu drept;
• Vectorul rezultat este ortogonal la $\vec(a)$ și $\vec(b)$.

Dacă vectorii au anumite coordonate ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ și $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), atunci produsul lor vectorial în coordonate carteziene sistemul poate fi determinat prin formula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

Cel mai simplu mod de a vă aminti această formulă este să o scrieți în formă determinantă:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Această formulă este foarte convenabilă de utilizat, dar pentru a înțelege cum să o utilizați, trebuie mai întâi să vă familiarizați cu subiectul matricelor și a determinanților acestora.

Aria unui paralelogram, ale căror laturi sunt determinate de doi vectori $\vec(a)$ și $vec(b)$ este egal cu scalar al produsului vectorial al celor doi vectori dați.

Această relație nu este greu de obținut.

Să ne amintim formula pentru găsirea ariei unui paralelogram obișnuit, care poate fi caracterizată prin segmentele $a$ și $b$ care îl formează:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

În acest caz, lungimile laturilor sunt egale cu valorile scalare ale vectorilor $\vec(a)$ și $\vec(b)$, ceea ce este destul de potrivit pentru noi, adică scalarul produsul vectorial al acestor vectori va fi aria figurii luate în considerare.

Exemplul 1

Sunt date vectori $\vec(c)$ cu coordonatele $\(5;3; 7\)$ și vector $\vec(g)$ cu coordonatele $\(3; 7;10\)$ în sistemul de coordonate carteziene . Aflați aria paralelogramului format din $\vec(c)$ și $\vec(g)$.

Soluţie:

Să găsim produsul vectorial pentru acești vectori:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Acum să găsim valoarea modulară pentru segmentul direcționat rezultat, este valoarea ariei paralelogramului construit:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Această linie de raționament este valabilă nu numai pentru găsirea zonei în spațiul tridimensional, ci și pentru spațiul bidimensional. Consultați următorul puzzle pe acest subiect.

Exemplul 2

Calculați aria unui paralelogram dacă segmentele sale generatoare sunt specificate de vectorii $\vec(m)$ cu coordonatele $\(2; 3\)$ și $\vec(d)$ cu coordonatele $\(-5). ; 6\)$.

Soluţie:

Această problemă este un exemplu special al problemei 1, rezolvată mai sus, dar ambii vectori se află în același plan, ceea ce înseamnă că a treia coordonată, $z$, poate fi luată ca zero.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, aria paralelogramului va fi:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Exemplul 3

Dați vectori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. Determinați aria paralelogramului pe care îl formează.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Să simplificăm conform tabelului de mai jos pentru vectorii unitari:

Figura 1. Descompunerea unui vector pe bază. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Timp de calcul:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Problemele anterioare au fost despre vectori ale căror coordonate sunt specificate în sistemul de coordonate carteziene, dar luați în considerare și cazul în care unghiul dintre vectorii de bază diferă de $90°$:

Exemplul 4

Vector $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, lungimile $\vec(a)$ și $\vec(b)$ sunt egale între ele și egale cu una , iar unghiul dintre $\vec(a)$ și $\vec(b)$ este de 45°.

Soluţie:

Să calculăm produsul vectorial $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Pentru produsele vectoriale, în funcție de proprietățile lor, este adevărat: $$ și $$ sunt egale cu zero, $ = - $.

Să folosim asta pentru a simplifica:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.

Acum să folosim formula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5 $.