În acest articol veți învăța cum să găsiți aria unei figuri delimitate de linii folosind calcule integrale. Formularea unei astfel de probleme o întâlnim mai întâi în liceu, când tocmai am finalizat studiul integralelor definite și este timpul să începem interpretarea geometrică a cunoștințelor dobândite în practică.
Deci, ce este necesar pentru a rezolva cu succes problema găsirii ariei unei figuri folosind integrale:
- Abilitatea de a realiza desene competente;
- Abilitatea de a rezolva o integrală definită folosind binecunoscuta formulă Newton-Leibniz;
- Abilitatea de a „vedea” o opțiune de soluție mai profitabilă - de ex. înțelegeți cum, într-un caz sau altul, va fi mai convenabil să realizați integrarea? De-a lungul axei x (OX) sau a axei y (OY)?
- Ei bine, unde am fi fără calcule corecte?) Aceasta include înțelegerea cum să rezolvăm acel alt tip de integrale și calcule numerice corecte.
Algoritm pentru rezolvarea problemei de calcul a ariei unei figuri delimitate de linii:
1. Construim un desen. Este indicat să faceți acest lucru pe o foaie de hârtie în carouri, la scară mare. Semnăm numele acestei funcții cu un creion deasupra fiecărui grafic. Semnarea graficelor se face numai pentru confortul calculelor ulterioare. După ce a primit un grafic al cifrei dorite, în majoritatea cazurilor va fi imediat clar ce limite de integrare vor fi utilizate. Astfel, rezolvăm problema grafic. Cu toate acestea, se întâmplă ca valorile limitelor să fie fracționale sau iraționale. Prin urmare, puteți face calcule suplimentare, treceți la pasul doi.
2. Dacă limitele de integrare nu sunt specificate în mod explicit, atunci găsim punctele de intersecție ale graficelor unul cu celălalt și vedem dacă solutie grafica cu analitice.
3. Apoi, trebuie să analizați desenul. În funcție de modul în care sunt aranjate graficele funcțiilor, există diferite abordări pentru a găsi aria unei figuri. Să luăm în considerare exemple diferite la găsirea ariei unei figuri folosind integrale.
3.1. Cea mai clasică și simplă versiune a problemei este atunci când trebuie să găsiți zona unui trapez curbat. Ce este un trapez curbat? Aceasta este o figură plată limitată de axa x (y = 0), Drept x = a, x = b iar orice curbă continuă pe intervalul de la o la b. În plus, această cifră nu este negativă și nu este situată sub axa x. În acest caz, aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu o anumită integrală, calculată folosind formula Newton-Leibniz:
Exemplul 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Prin ce linii este delimitată figura? Avem o parabolă y = x2 – 3x + 3, care este situat deasupra axei OH, este nenegativ, deoarece toate punctele acestei parabole au valori pozitive. Apoi, date linii drepte x = 1Şi x = 3, care sunt paralele cu axa Op-amp, sunt liniile de delimitare ale figurii din stânga și dreapta. Bine y = 0, este și axa x, care limitează figura de jos. Figura rezultată este umbrită, așa cum se poate vedea din figura din stânga. ÎN în acest caz,, puteți începe imediat să rezolvați problema. În fața noastră este un exemplu simplu de trapez curbat, pe care îl rezolvăm în continuare folosind formula Newton-Leibniz.
3.2. În paragraful anterior 3.1, am examinat cazul în care un trapez curbat este situat deasupra axei x. Acum luați în considerare cazul în care condițiile problemei sunt aceleași, cu excepția faptului că funcția se află sub axa x. La formula standard Newton-Leibniz se adaugă un minus. Vom analiza mai jos cum să rezolvăm o astfel de problemă.
Exemplul 2 . Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
ÎN în acest exemplu avem o parabolă y = x2 + 6x + 2, care provine din axă OH, Drept x = -4, x = -1, y = 0. Aici y = 0 limitează cifra dorită de sus. Direct x = -4Şi x = -1 acestea sunt limitele în care se va calcula integrala definită. Principiul rezolvării problemei găsirii ariei unei figuri coincide aproape complet cu exemplul numărul 1. Singura diferență este că funcţie dată nu pozitiv, și încă continuu pe interval [-4; -1] . Ce vrei sa spui ca nu pozitiv? După cum se poate observa din figură, figura care se află în x-urile date are coordonate exclusiv „negative”, ceea ce trebuie să vedem și să ne amintim atunci când rezolvăm problema. Căutăm aria figurii folosind formula Newton-Leibniz, doar cu semnul minus la început.
Articolul nu este completat.
Ne-am dat seama cum să găsim aria unui trapez curbat G. Iată formulele rezultate:
pentru o funcție continuă și nenegativă y=f(x) pe segment, 
pentru o funcție continuă și nepozitivă y=f(x) pe segment.
Cu toate acestea, atunci când rezolvați probleme privind găsirea zonei, de multe ori trebuie să aveți de-a face cu cifre mai complexe.
În acest articol vom vorbi despre calcularea ariei figurilor ale căror limite sunt specificate de funcții în mod explicit, adică ca y=f(x) sau x=g(y), și vom analiza în detaliu soluția tipică exemple.
Navigare în pagină.
Formula pentru calcularea ariei unei figuri delimitate de drepte y=f(x) sau x=g(y).
Teorema.
Fie funcțiile și să fie definite și continue pe interval, și pentru orice valoare x din . Apoi aria figurii G, delimitată de linii x=a , x=b , și se calculează prin formula 
.
O formulă similară este valabilă pentru aria unei figuri delimitate de liniile y=c, y=d și: 
.
Dovada.
Să arătăm validitatea formulei pentru trei cazuri: 
În primul caz, când ambele funcții sunt nenegative, datorită proprietății de aditivitate a ariei, suma ariei figurii originale G și a trapezului curbiliniu este egală cu aria figurii. Prin urmare, 
De aceea, . Ultima tranziție este posibilă datorită celei de-a treia proprietăți a integralei definite.
În mod similar, în al doilea caz egalitatea este adevărată. Iată o ilustrare grafică: 
În al treilea caz, când ambele funcții sunt nepozitive, avem . Să ilustrăm asta: 
Acum putem trece la cazul general când funcțiile și intersectează axa Ox.
Să notăm punctele de intersecție. Aceste puncte împart segmentul în n părți, unde . Figura G poate fi reprezentată printr-o uniune de figuri 
. Evident, pe intervalul său se încadrează într-unul dintre cele trei cazuri luate anterior în considerare, prin urmare zonele acestora se regăsesc ca 
Prin urmare, 
Ultima tranziție este valabilă datorită celei de-a cincea proprietăți a integralei definite.
Ilustrare grafică a cazului general.
Deci formula dovedit.
Este timpul să trecem la rezolvarea exemplelor de găsire a ariei figurilor mărginite de liniile y=f(x) și x=g(y).
Exemple de calcul al ariei unei figuri delimitate de liniile y=f(x) sau x=g(y) .
Vom începe să rezolvăm fiecare problemă prin construirea unei figuri pe un plan. Acest lucru ne va permite să ne imaginăm o figură complexă ca o unire a mai multor figuri simple. Dacă aveți dificultăți în construcție, vă rugăm să consultați articolele: ; Și .
Exemplu.
Calculați aria unei figuri delimitate de o parabolă 
și drepte, x=1, x=4.
Soluţie.
Să desenăm aceste linii pe un plan. 
Peste tot pe segment graficul unei parabole deasupra liniei drepte. Prin urmare, aplicăm formula obținută anterior pentru zonă și calculăm integrala definită folosind formula Newton-Leibniz: 
Să complicăm puțin exemplul.
Exemplu.
Calculați aria figurii delimitată de linii.
Soluţie.
Prin ce diferă acest lucru față de exemplele anterioare? Anterior, aveam întotdeauna două drepte paralele cu axa x, dar acum avem doar una x=7. Apare imediat întrebarea: de unde să obținem a doua limită a integrării? Să aruncăm o privire la desenul pentru asta. 
A devenit clar că limita inferioară de integrare la găsirea ariei unei figuri este abscisa punctului de intersecție a graficului dreptei y=x și semi-parabolă. Găsim această abscisă din egalitate: 
Prin urmare, abscisa punctului de intersecție este x=2.
Vă rugăm să rețineți.
În exemplul nostru și în desen este clar că liniile și y=x se intersectează în punctul (2;2), iar calculele anterioare par inutile. Dar în alte cazuri, lucrurile pot să nu fie atât de evidente. Prin urmare, vă recomandăm să calculați întotdeauna analitic abscisele și ordonatele punctelor de intersecție a dreptelor.
Evident, graficul funcției y=x este situat deasupra graficului funcției pe interval. Aplicam formula pentru a calcula suprafata: 
Să facem sarcina și mai dificilă.
Exemplu.
Calculați aria figurii, limitat de orare funcţii şi 
.
Soluţie.
Să construim un grafic proporţionalitate inversăși parabole .
Înainte de a aplica formula pentru a găsi aria unei figuri, trebuie să decidem asupra limitelor integrării. Pentru a face acest lucru, vom găsi abscisa punctelor de intersecție a dreptelor, echivalând expresiile și .
Pentru valori diferite de zero ale lui x, egalitatea 
este echivalentă cu ecuația de gradul trei 
cu coeficienți întregi. Puteți consulta secțiunea pentru a vă aminti algoritmul de rezolvare.
Este ușor de verificat că x=1 este rădăcina acestei ecuații: .
Prin împărțirea expresiei 
pentru binomul x-1, avem:
Astfel, rădăcinile rămase se găsesc din ecuație 
:
Acum din desen a devenit clar că figura G este conținută deasupra liniei albastre și sub linia roșie a intervalului 
. Astfel, suprafața necesară va fi egală cu 
Să ne uităm la un alt exemplu tipic.
Exemplu.
Calculați aria unei figuri delimitate de curbe 
iar axa absciselor.
Soluţie.
Să facem un desen.
Acest lucru este normal functie de putere cu exponent o treime, graficul funcției 
poate fi obținut din grafic afișându-l simetric față de axa x și ridicându-l cu unu. 
Să găsim punctele de intersecție ale tuturor liniilor.
Axa absciselor are ecuația y=0.
Graficele funcțiilor și y=0 se intersectează în punctul (0;0) deoarece x=0 este singura rădăcină reală a ecuației.
Grafice de funcții și y=0 se intersectează în punctul (2;0) deoarece x=2 este singura rădăcină a ecuației 
.
Grafice de funcții și se intersectează în punctul (1;1) deoarece x=1 este singura rădăcină a ecuației 
. Această afirmație nu este în întregime evidentă, dar funcția este strict în creștere și - descrescand strict, deci, ecuatia are cel mult o rădăcină.
Singura observație: în acest caz, pentru a găsi zona va trebui să utilizați o formulă a formei 
. Adică, liniile de delimitare trebuie reprezentate ca funcții ale argumentului y și linia neagră. 
Să determinăm punctele de intersecție ale dreptelor.
Să începem cu graficele funcțiilor și: 
Să găsim punctul de intersecție al graficelor de funcții și: 
Rămâne de găsit punctul de intersecție al liniilor și: 
După cum puteți vedea, valorile sunt aceleași.
Să rezumam.
Am analizat toate cele mai frecvente cazuri de găsire a ariei unei figuri delimitate de linii definite în mod explicit. Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți capabil să construiți linii pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor și să aplicați o formulă pentru a găsi aria, ceea ce implică capacitatea de a calcula anumite integrale.
Introduceți funcția pentru care trebuie să găsiți integrala
Calculatorul oferă SOLUȚIE DETALIATĂ integrale definite.
Acest calculator găsește o soluție la integrala definită a funcției f(x) cu limitele superioare și inferioare date.
Exemple
Folosind gradul
(pătrat și cub) și fracții
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
Rădăcină pătrată
Sqrt(x)/(x + 1)
Rădăcină cubă
Cbrt(x)/(3*x + 2)
Folosind sinus și cosinus
2*sin(x)*cos(x)
arcsinus
X*arcsin(x)
arc cosinus
X*arccos(x)
Aplicarea logaritmului
X*log(x, 10)
Logaritmul natural
Expozant
Tg(x)*sin(x)
Cotangentă
Ctg(x)*cos(x)
Fracții iraționale
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
Arctangent
X*arctg(x)
Arccotangent
X*arсctg(x)
Sinus și cosinus hiperbolic
2*sh(x)*ch(x)
Tangenta hiperbolica si cotangente
Ctgh(x)/tgh(x)
Arcsinus și arccosinus hiperbolic
X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Arctangentă și arctangentă hiperbolice
X^2*arctgh(x)*arctgh(x)
Reguli de introducere a expresiilor și funcțiilor
Expresiile pot consta din funcții (notațiile sunt date în ordine alfabetică): absolut (x) Valoare absolută x
(modul x sau |x|)
arccos(x) Funcția - arc cosinus al x arccosh(x) Arc cosinus hiperbolic de la x arcsin(x) Arcsine din x arcsinh(x) Arcsin hiperbolic din x arctan(x) Funcția - arctangent de x arctgh(x) Arctangent hiperbolic din x e e un număr care este aproximativ egal cu 2,7 exp(x) Funcție - exponent al x(ca e^x)
log(x) sau ln(x) Logaritmul natural al x
(A obține log7(x), trebuie să introduceți log(x)/log(7) (sau, de exemplu, pentru log10(x)=log(x)/log(10)) pi Numărul este „Pi”, care este aproximativ egal cu 3,14 sin(x) Funcția - Sinus de x cos(x) Funcția - Cosinus de x sinh(x) Funcție - Sinus hiperbolic de la x cosh(x) Funcție - Cosinus hiperbolic de la x sqrt(x) Funcție - rădăcină pătrată din x sqr(x) sau x^2 Funcție - Pătrat x tan(x) Functie - Tangenta de la x tgh(x) Functie - Tangenta hiperbolica de la x cbrt(x) Funcție - rădăcină cubă a x
Următoarele operații pot fi utilizate în expresii: Numerele reale
intra ca 7.5
, Nu 7,5
2*x- înmulțirea 3/x- diviziune x^3- exponentiarea x+7- adaos x - 6- scăderea
Alte caracteristici: podea(x) Funcție - rotunjire xîn jos (exemplu etaj(4,5)==4,0) plafon (x) Funcție - rotunjire xîn sus (exemplu plafon (4,5)==5,0) semn(x) Funcție - Semn x erf(x) Funcție de eroare (sau integrală de probabilitate) laplace(x) Funcția Laplace
Calcularea ariei unei figuri- Aceasta este poate una dintre cele mai dificile probleme din teoria zonei. În geometria școlii te învață să găsești zonele principale forme geometrice cum ar fi, de exemplu, triunghi, romb, dreptunghi, trapez, cerc etc. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să vă ocupați de calcularea ariilor unor cifre mai complexe. Atunci când rezolvați astfel de probleme este foarte convenabil să utilizați calculul integral.
Definiţie.
Trapez curbiliniu numiți o figură G mărginită de dreptele y = f(x), y = 0, x = a și x = b, iar funcția f(x) este continuă pe segmentul [a; b] și nu își schimbă semnul de pe el (Fig. 1). Aria unui trapez curbat poate fi notată cu S(G).
Integrală definităʃ a b f(x)dx pentru funcția f(x), care este continuă și nenegativă pe intervalul [a; b] și este aria trapezului curbat corespunzător.
Adică, pentru a găsi aria unei figuri G mărginită de liniile y = f(x), y = 0, x = a și x = b, este necesar să se calculeze integrala definită ʃ a b f(x)dx .
Astfel, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Dacă funcția y = f(x) nu este pozitivă pe [a; b], atunci aria unui trapez curbat poate fi găsită folosind formula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Exemplul 1.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3; y = 1; x = 2.
Soluţie.
Liniile date formează figura ABC, care este afișată prin hașurare orez. 2.
Aria necesară este egală cu diferența dintre ariile trapezului curbiliniu DACE și pătratul DABE.
Folosind formula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), găsim limitele integrării. Pentru a face acest lucru, rezolvăm un sistem de două ecuații:
(y = x 3,
(y = 1.
Astfel, avem x 1 = 1 – limita inferioară și x = 2 – limita superioară.
Deci, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (unități pătrate).
Raspuns: 11/4 mp. unitati
Exemplul 2.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = √x; y = 2; x = 9.
Soluţie.
Liniile date formează figura ABC, care este limitată mai sus de graficul funcției
y = √x, iar mai jos este un grafic al funcției y = 2. Figura rezultată este afișată prin hașura în orez. 3.
Aria necesară este S = ʃ a b (√x – 2). Să aflăm limitele integrării: b = 9, pentru a găsi a, rezolvăm un sistem de două ecuații:
(y = √x,
(y = 2.
Astfel, avem că x = 4 = a - aceasta este limita inferioară.
Deci, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (unități pătrate).
Răspuns: S = 2 2/3 mp. unitati
Exemplul 3.
Calculați aria figurii delimitată de liniile y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Soluţie.
Să reprezentăm grafic funcția y = x 3 – 4x pentru x ≥ 0. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 la x = ±2/√3 ≈ 1,1 – puncte critice.
Dacă trasăm punctele critice pe dreapta numerică și aranjam semnele derivatei, aflăm că funcția scade de la zero la 2/√3 și crește de la 2/√3 la plus infinit. Atunci x = 2/√3 este punctul minim, valoarea minimă a funcției y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Să determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:
dacă x = 0, atunci y = 0, ceea ce înseamnă că A(0; 0) este punctul de intersecție cu axa Oy;
dacă y = 0, atunci x 3 – 4x = 0 sau x(x 2 – 4) = 0, sau x(x – 2)(x + 2) = 0, de unde x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nu este potrivit, deoarece x ≥ 0).
Punctele A(0; 0) și B(2; 0) sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox.
Liniile date formează figura OAB, care este afișată prin hașurare orez. 4.
Deoarece funcția y = x 3 – 4x ia o valoare negativă pe (0; 2), atunci
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Avem: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, de unde S = 4 sq. unitati
Răspuns: S = 4 mp. unitati
Exemplul 4.
Aflați aria figurii delimitată de parabola y = 2x 2 – 2x + 1, dreptele x = 0, y = 0 și tangenta la această parabolă în punctul cu abscisa x 0 = 2.
Soluţie.
Mai întâi, să creăm o ecuație pentru tangenta la parabola y = 2x 2 – 2x + 1 în punctul cu abscisa x₀ = 2.
Deoarece derivata y’ = 4x – 2, atunci pentru x 0 = 2 obținem k = y’(2) = 6.
Să aflăm ordonata punctului tangentei: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Prin urmare, ecuația tangentei are forma: y – 5 = 6(x – 2) sau y = 6x – 7.
Să construim o figură delimitată de linii:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolă. Puncte de intersecție cu axele de coordonate: A(0; 1) – cu axa Oy; cu axa Ox - nu există puncte de intersecție, deoarece ecuația 2x 2 – 2x + 1 = 0 nu are soluții (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, adică vârful punctului parabolă B are coordonatele B(1/2; 1/2).
Deci, figura a cărei zonă trebuie determinată este afișată prin hașurare orez. 5.
Avem: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Să găsim coordonatele punctului D din condiția:
6x – 7 = 0, adică x = 7/6, ceea ce înseamnă DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Găsim aria triunghiului DBC folosind formula S ADBC = 1/2 · DC · BC. Astfel,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mp. unitati
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (unități pătrate).
În cele din urmă obținem: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unități pătrate).
Răspuns: S = 1 1/4 mp. unitati
Ne-am uitat la exemple aflarea ariilor figurilor delimitate de linii date. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să fiți capabil să desenați linii și grafice ale funcțiilor pe un plan, să găsiți punctele de intersecție ale liniilor, să aplicați o formulă pentru a găsi aria, ceea ce implică capacitatea de a calcula anumite integrale.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
O)
Soluţie.
Primul și cel mai important punct al deciziei este construcția desenului.
Să facem desenul:
Ecuaţie y=0 setează axa „x”;
- x=-2 Şi x=1 - drept, paralel cu axa Oh;
- y=x 2 +2 - o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, cu vârful în punctul (0;2).
Comentariu. Pentru a construi o parabolă, este suficient să găsiți punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate, adică. punând x=0 găsiți intersecția cu axa Oh și hotărând în consecință ecuație pătratică, găsiți intersecția cu axa Oh .
Vârful unei parabole poate fi găsit folosind formulele:
De asemenea, puteți construi linii punct cu punct.
Pe intervalul [-2;1] graficul funcției y=x 2 +2 situat deasupra axei Bou , De aceea:
Răspuns: S =9 unități mp
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax Oh?
b) Calculați aria unei figuri delimitate de linii y=-e x , x=1 și axele de coordonate.
Soluţie.
Să facem un desen.
Dacă un trapez curbat complet situat sub ax Oh , atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
Răspuns: S=(e-1) unități mp" 1,72 unități mp
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără niciuna sens geometric, atunci poate fi negativ.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior.
Cu) Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y=2x-x 2, y=-x.
Soluţie.
Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică.
Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării a=0 , limita superioară a integrării b=3 .
|
Construim linii date: 1. Parabolă - vârf în punctul (1;1); intersecția axelor Oh - punctele (0;0) și (0;2). 2. Linie dreaptă - bisectoarea celui de-al 2-lea și al 4-lea unghi de coordonate. Și acum Atenție! Dacă pe segmentul [ a;b] oarecare funcție continuă f(x) mai mare sau egală cu o funcție continuă g(x), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula: . Și nu contează unde se află figura - deasupra axei sau sub axa, dar ceea ce contează este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS. În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din |
Puteți construi linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Totuşi, metoda analitica găsirea limitelor trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este destul de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale).
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: S =4,5 unități mp