Graficul unei ecuații pe un plan de coordonate. Grafice online. Graficul unei ecuații liniare în două variabile

În această lecție vom arunca o privire mai atentă asupra graficării ecuațiilor. În primul rând, să ne amintim ce este o ecuație rațională și setul soluțiilor sale care formează graficul ecuației. Să aruncăm o privire mai atentă asupra diagramei ecuație liniară si proprietati funcţie liniară, să învățăm să citim grafice. Apoi, luați în considerare graficul unei ecuații pătratice și proprietățile unei funcții pătratice. Luați în considerare funcția hiperbolică și graficul acesteia și graficul ecuației unui cerc. În continuare, să trecem la construirea și studierea unui set de grafice.

Tema: Sisteme de ecuații

Lecția: Reprezentarea grafică a ecuațiilor

Considerăm o ecuație rațională de formă și sistem ecuații raționale fel

Am spus că fiecare ecuație din acest sistem are propriul grafic, dacă, desigur, există soluții ale ecuațiilor. Ne-am uitat la mai multe grafice ale diferitelor ecuații.

Acum vom lua în considerare sistematic fiecare dintre ecuațiile cunoscute nouă, adică. hai sa trecem in revista grafice de ecuații.

1. Ecuație liniară cu două variabile

x, y - la primul grad; a,b,c - numere specifice.

Exemplu:

Graficul acestei ecuații este o linie dreaptă.

Am acționat cu transformări echivalente - am lăsat y pe loc, totul a fost mutat în cealaltă parte cu semne opuse. Ecuațiile inițiale și cele rezultate sunt echivalente, adică. au același set de soluții. Știm să construim un grafic al acestei ecuații, iar metoda de construire a acestuia este următoarea: găsim punctele de intersecție cu axele de coordonate și construim o dreaptă folosindu-le.

În acest caz

Cunoscând graficul ecuației, putem spune multe despre soluțiile ecuației inițiale și anume: dacă dacă

Această funcție crește, adică pe măsură ce x crește, și crește. Avem două soluții particulare, dar cum putem scrie setul tuturor soluțiilor?

Dacă un punct are o abscisă x, atunci ordonata acestui punct este

Deci numere

Am avut o ecuație, am făcut un grafic, am găsit soluții. Setul tuturor perechilor - câte sunt? nenumărate.

Aceasta este o ecuație rațională

Să găsim y și prin transformări echivalente obținem

Să-l punem și să luăm funcţie pătratică, orarul acestuia ne este cunoscut.

Exemplu: Reprezentați grafic o ecuație rațională.

Graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus.

Să găsim rădăcinile ecuației:

Să reprezentăm schematic graficul ( Orez. 2).

Cu ajutorul unui grafic, obținem tot felul de informații atât despre funcție, cât și despre soluțiile ecuației raționale. Am determinat intervalele de semn constant, acum vom găsi coordonatele vârfului parabolei.

Ecuația are nenumărate soluții, adică există nenumărate perechi care satisfac ecuația, dar toate Și ce ar putea fi x? Cineva!

Dacă stabilim orice x, obținem un punct

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

3. Reprezentați grafic ecuația

Este necesar să exprimăm y. Să luăm în considerare două opțiuni.

Graficul unei funcții este o hiperbolă, funcția nu este definită când

Funcția este în scădere.

Dacă luăm un punct cu o abscisă, atunci ordonata lui va fi egală cu

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

Hiperbola construită poate fi deplasată în raport cu axele de coordonate.

De exemplu, graficul unei funcții - de asemenea o hiperbolă - va fi deplasată cu unu în sus de-a lungul axei y.

4. Ecuația unui cerc

Aceasta este o ecuație rațională cu două variabile. Mulțimea soluției sunt punctele cercului. Centrul în punctul de rază este egal cu R (Fig. 4).

Să ne uităm la exemple specifice.

Să reducem ecuația la forma standard a ecuației unui cerc pentru aceasta selectăm pătratul complet al sumei:

- a obţinut ecuaţia unui cerc cu centrul la .

Să tragem ecuația (Fig. 5).

b. Reprezentați grafic ecuația

Amintiți-vă că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre factori egal cu zero, iar al doilea există.

Graficul unei ecuații date constă dintr-un set de grafice ale primei și celei de-a doua ecuații, i.e. două linii drepte.

Să-l construim (Fig. 6).

Să construim un grafic al funcției. Linia dreaptă va trece prin punctul (0; -1). Dar cum va merge - va crește sau va scădea? Coeficientul unghiular, coeficientul lui x, ne va ajuta să stabilim acest lucru este negativ, ceea ce înseamnă că funcția este în scădere. Să găsim punctul de intersecție cu axa bou, acesta este punctul (-1; 0).

În mod similar, construim un grafic al celei de-a doua ecuații. Linia dreaptă trece prin punctul (0; 1), dar crește deoarece panta este pozitivă.

Coordonatele tuturor punctelor celor două drepte construite sunt soluția ecuației.

Astfel, am analizat graficele celor mai importante ecuații raționale, acestea vor fi utilizate atât în metoda grafică, cât și în ilustrarea altor metode de rezolvare a sistemelor de ecuații.

1. Mordkovich A.G. si altele Algebra clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. și alții Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu N. Algebră. Clasa a IX-a: educațională. pentru elevii din învățământul general. instituții / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — Ed. a VII-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 9-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — Ed. a XII-a, șters. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebră. clasa a 9-a. În 2 părți. Partea 2. Cartea cu probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina și alții; Ed. A. G. Mordkovici. — Ed. a XII-a, rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. College.ru secțiunea de matematică ().

2. Proiectul Internet „Sarcini” ().

3. Portal educațional„VOI REZOLVA UTILIZAREA” ().

1. Mordkovich A.G. și alții Algebră clasa a IX-a: Cartea de probleme pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina etc. - ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 95-102.

OBIECTIV:1) Introducerea elevilor în conceptul de „ecuație cu două variabile”;

2) Învățați să determinați gradul unei ecuații cu două variabile;

3) Învățați să vă identificați prin funcţie dată care figură este un grafic

ecuația dată;

4) Se consideră transformări ale graficelor cu două variabile;

ecuație dată cu două variabile folosind programul Agrapher;

6) Dezvoltați gândire logică elevilor.

I. Material nou - o prelegere explicativă cu elemente de conversație.

(prelegerea se desfășoară folosind diapozitivele autorului; graficele sunt desenate în programul Agrapher)

T: Când studiezi liniile, apar două probleme:

Folosind proprietățile geometrice ale unei linii date, găsiți ecuația acesteia;

Problemă inversă: dată fiind ecuația unei drepte, studiați proprietățile geometrice ale acesteia.

Am considerat prima problemă din cursul de geometrie în raport cu cercuri și drepte.

Astăzi vom analiza problema inversă.

Luați în considerare ecuații de forma:

O) x(x-y)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

sunt exemple de ecuații cu două variabile.

Ecuații cu două variabile XŞi la arata ca f(x,y)=(x,y), Unde fŞi – expresii cu variabile XŞi u.

Dacă în Ec. x(x-y)=4înlocuirea variabilei X valoarea sa este -1 și, în schimb la– valoarea 3, atunci se va obține egalitatea corectă: 1*(-1-3)=4,

Pereche (-1; 3) valori variabile XŞi la este o soluție a ecuației x(x-y)=4.

Adică rezolvarea ecuației cu două variabile se numește setul de perechi ordonate de valori ale variabilelor care formează această ecuație într-o egalitate adevărată.

Ecuațiile cu două variabile au de obicei infinite soluții. Excepții formează, de exemplu, ecuații precum X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 sau

2x 2 + la 2 = 0 .

Prima dintre ele are două soluții (0; -2) și (0; 2), a doua are o soluție (0; 0).

Ecuația x 4 + y 4 +3 = 0 nu are deloc soluții. Este de interes atunci când valorile variabilelor din ecuație sunt numere întregi. Prin rezolvarea unor astfel de ecuații cu două variabile se găsesc perechi de numere întregi. În astfel de cazuri, se spune că ecuația este rezolvată în numere întregi.

Se numesc două ecuații care au același set de soluții ecuații echivalente. De exemplu, ecuația x(x + y 2) = x + 1 este o ecuație de gradul trei, deoarece poate fi transformată în ecuația xy 2 + x 2 - x-1 = 0, a cărei parte dreaptă este un polinom al formei standard de gradul trei.

Gradul unei ecuații cu două variabile, reprezentat sub forma F(x, y) = 0, unde F(x, y) este un polinom de formă standard, se numește gradul polinomului F(x, y).

Dacă toate soluțiile unei ecuații cu două variabile sunt reprezentate prin puncte în plan de coordonate, obțineți un grafic al unei ecuații cu două variabile.

Programa ecuația cu două variabile este mulțimea de puncte ale căror coordonate servesc drept soluții pentru această ecuație.

Deci, graficul ecuației ax + by + c = 0 este o linie dreaptă dacă cel puțin unul dintre coeficienți o sau b nu este egal cu zero (Fig. 1). Dacă a = b = c = 0, atunci graficul acestei ecuații este plan de coordonate (Fig. 2), dacă a = b = 0, A c0, atunci graficul este set gol (Fig. 3).

Graficul ecuației y = un x 2 + prin + c este o parabolă (Fig. 4), un grafic al ecuației xy=k (k0) – hiperbolă (fig. 5). Graficul ecuației X 2 + y 2 = r, unde x și y sunt variabile, r este un număr pozitiv, este cerc cu centrul la origine și raza egală cu r(Fig. 6). Graficul ecuației este elipsă, Unde oŞi b– semiaxele majore și minore ale elipsei (Fig. 7).

Construirea graficelor unor ecuații este facilitată de utilizarea transformărilor acestora. Să luăm în considerare conversia graficelor ecuațiilor în două variabileși formulați regulile prin care se realizează cele mai simple transformări ale graficelor de ecuații

1) Graficul ecuației F (-x, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei u.

2) Graficul ecuației F (x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria în jurul axei X.

3) Graficul ecuației F (-x, -y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind simetria centrală în jurul originii.

4) Graficul ecuației F (x-a, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin deplasarea paralelă cu axa x cu |a| unități (în dreapta, dacă o> 0, iar la stânga dacă O < 0).

5) Graficul ecuației F (x, y-b) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin trecerea la |b| unități paralele cu axa la(sus daca b> 0 și în jos dacă b < 0).

6) Graficul ecuației F (ax, y) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 prin comprimarea pe axa y și a ori, dacă O> 1 și prin întinderea de pe axa y în timp, dacă 0< O < 1.

7) Graficul ecuației F (x, by) = 0 se obține din graficul ecuației F (x, y) = 0 folosind compresia pe axa x în b ori dacă b> 1 și prin întinderea de pe axa x cu ori dacă 0 < b < 1.

Dacă graficul unei ecuații este rotit cu un anumit unghi aproape de origine, atunci noul grafic va fi graficul unei alte ecuații. Cazurile speciale de rotație la unghiuri de 90 0 și 45 0 sunt importante.

8) Graficul ecuației F (x, y) = 0 ca urmare a unei rotații în sensul acelor de ceasornic lângă originea coordonatelor cu un unghi de 90 0 se transformă în graficul ecuației F (-y, x) = 0, și în sens invers acelor de ceasornic în graficul ecuației F (y , -x) = 0.

9) Graficul ecuației F (x, y) = 0 ca rezultat al unei rotații în sensul acelor de ceasornic în apropierea originii coordonatelor cu un unghi de 45 0 se transformă în graficul ecuației F = 0 și în sens invers acelor de ceasornic în graficul lui ecuația F = 0.

Din regulile pe care le-am luat în considerare pentru transformarea graficelor ecuațiilor cu două variabile, se obțin cu ușurință reguli pentru transformarea graficelor funcțiilor.

Exemplul 1. Să arătăm că prin reprezentarea grafică a ecuației X 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0 este un cerc (Fig. 17).

Să transformăm ecuația după cum urmează:

1) grupează termenii care conțin variabila Xși care conține o variabilă la, și imaginați-vă fiecare grup de termeni sub forma unui trinom pătrat complet: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) scrieți trinoamele rezultate ca pătratul sumei (diferenței) a două expresii: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) să analizăm, după regulile de transformare a graficelor ecuațiilor cu două variabile, ecuația (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: graficul acestei ecuații este un cerc cu centrul la punctul (-1; 4) și o rază de 3 unități .

Exemplul 2: Să reprezentăm grafic ecuația X 2 + 4у 2 = 9 .

Să ne imaginăm 4y 2 sub forma (2y) 2, obținem ecuația x 2 + (2y) 2 = 9, al cărei grafic poate fi obținut din cercul x 2 + y 2 = 9 prin comprimarea axei x cu o factor de 2.

Desenați un cerc cu un centru la origine și o rază de 3 unități.

Să reducem distanța fiecărui punct față de axa X de 2 ori și să obținem un grafic al ecuației

x 2 + (2y) 2 = 9.

Am obținut figura comprimând cercul la unul dintre diametrele acestuia (până la diametrul care se află pe axa X). Această figură se numește elipsă (Fig. 18).

Exemplul 3. Să aflăm care este graficul ecuației x 2 - y 2 = 8.

Să folosim formula F= 0.

Înlocuind în această ecuație în loc de X și în loc de Y, obținem:

T: Care este graficul ecuației y = ?

D: Graficul ecuației y = este o hiperbolă.

U: Am transformat ecuația de forma x 2 - y 2 = 8 în ecuația y =.

Care linie va fi graficul acestei ecuații?

D: Deci, graficul ecuației x 2 - y 2 = 8 este o hiperbolă.

U: Care linii sunt asimptote ale hiperbolei y =.

D: Asimptotele hiperbolei y = sunt drepte y = 0 și x = 0.

U: Când rotația este finalizată, aceste drepte se vor transforma în drepte = 0 și = 0, adică în drepte y = x și y = - x. (Fig. 19).

Exemplul 4: Să aflăm ce formă va lua ecuația y = x 2 a parabolei când este rotită în jurul originii cu un unghi de 90 0 în sensul acelor de ceasornic.

Folosind formula F (-y; x) = 0, în ecuația y = x 2 înlocuim variabila x cu – y, iar variabila y cu x. Obținem ecuația x = (-y) 2, adică x = y 2 (Fig. 20).

Ne-am uitat la exemple de grafice de ecuații de gradul doi cu două variabile și am descoperit că graficele unor astfel de ecuații pot fi o parabolă, o hiperbolă, o elipsă (în special, un cerc). În plus, graficul unei ecuații de gradul doi poate fi o pereche de drepte (intersectând sau paralele). Acesta este așa-numitul caz degenerat. Deci graficul ecuației x 2 - y 2 = 0 este o pereche de drepte care se intersectează (Fig. 21a), iar graficul ecuației x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 este drepte paralele.

II Consolidare.

(elevilor li se oferă „Fișe de instrucțiuni” pentru construirea graficelor de ecuații cu două variabile în programul Agrapher (Anexa 2) și carduri „Sarcina practică” (Anexa 3) cu formularea sarcinilor 1-8. Profesorul demonstrează grafice de ecuații pentru sarcinile 4-5 pe diapozitive).

Sarcina 1. Care dintre perechile (5;4), (1;0), (-5;-4) și (-1; -) sunt soluții ale ecuației:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Soluţie:

Înlocuind coordonatele acestor puncte în ecuația dată, suntem convinși că nici o singură pereche dată nu este o soluție a ecuației x 2 - y 2 = 0, iar soluțiile ecuației x 3 - 1 = x 2 y + 6y sunt perechile (5;4), (1;0) și (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 – 1 = - - (I)

Răspuns: O); b) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Sarcina 2. Găsiți soluții pentru ecuația xy 2 - x 2 y = 12 în care valoarea X este egal cu 3.

Rezolvare: 1) Înlocuiți valoarea 3 în loc de X în ecuația dată.

2) Primim ecuație pătratică relativ la variabila Y, având forma:

3y 2 - 9y = 12.

4) Să rezolvăm această ecuație:

3y 2 - 9y – 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Răspuns: perechile (3;4) și (3;-1) sunt soluții ale ecuației xy 2 - x 2 y = 12

Sarcina 3. Determinați gradul ecuației:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Răspuns: a) 3; b) 5; c) 4; d) 4.

Sarcina 4. Care figură este graficul ecuației:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y – 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5)(x – 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Sarcina 5. Scrieți o ecuație al cărei grafic este simetric față de graficul ecuației x 2 - xy + 3 = 0 (Fig. 24) în raport cu: a) axa X; b) axele la; c) dreapta y = x; d) dreapta y = -x.

Sarcina 6. Creați o ecuație al cărei grafic se obține prin întinderea graficului ecuației y = x 2 -3 (Fig. 25):

a) de pe axa x de 2 ori; b) de pe axa y de 3 ori.

Verificați cu programul Agrapher dacă sarcina a fost finalizată corect.

Răspuns: a)y - x 2 + 3 = 0 (Fig. 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Fig. 25b).

b) liniile sunt paralele, deplasându-se paralel cu axa x cu 1 unitate spre dreapta și paralel cu axa y cu 3 unități în jos (Fig. 26b);

c) se intersectează linii drepte, afișare simetrică față de axa x (Fig. 26c);

d) linii drepte se intersectează, afișare simetrică față de axa y (Fig. 26d);

e) liniile sunt paralele, afișate simetrice față de origine (Fig. 26e);

e) linii drepte se intersectează, rotire în jurul originii cu 90 în sensul acelor de ceasornic și afișare simetrică față de axa x (Fig. 26e).

III. Munca independentă de natură educativă.

(elevilor li se dau cartonașe „Munca independentă” și un „Tabel de raport al rezultatelor muncii independente”, în care elevii își notează răspunsurile și, după autotestare, evaluează munca conform schemei propuse) Anexa 4 ..

I. opțiunea.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Specificați coordonatele centrului cercului și ale razei acestuia.

6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y = pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x 2 - y 2 = 16?

Verificați-vă răspunsul graficând folosind Agrapher.

7. Cum ar trebui mutată parabola y = x 2 pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x = y 2 - 1

Opțiunea II.

1. Determinați gradul ecuației:

a)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Este perechea de numere (-2;3) o soluție a ecuației:

a) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Găsiți setul de soluții ale ecuației:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Ce fel de curbă (hiperbolă, cerc, parabolă) este un set de puncte dacă ecuația acestei curbe are forma:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 =1

c) x = y 2 - 1.

(verificați cu programul Agrapher dacă sarcina a fost finalizată corect)

5. Folosind programul Agrapher, trasați ecuația:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Cum ar trebui să fie mutată hiperbola y = pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x 2 - y 2 = 28?

7. Cum ar trebui mutată parabola y = x 2 pe planul de coordonate astfel încât ecuația ei să ia forma x = y 2 + 9.

Un sistem de coordonate dreptunghiular este o pereche de linii de coordonate perpendiculare, numite axe de coordonate, care sunt plasate astfel încât să se intersecteze la origine.

Desemnarea axelor de coordonate prin literele x și y este în general acceptată, dar literele pot fi oricare. Dacă sunt folosite literele x și y, atunci planul este numit planul xy. Diferitele aplicații pot folosi alte litere decât x și y și, așa cum se arată în figurile de mai jos, există avion UVŞi ts-avion.

Pereche comandată

Sub perechea comandată numere reale ne referim la două numere reale într-o anumită ordine. Fiecare punct P din planul de coordonate poate fi asociat cu o pereche unică ordonată de numere reale prin trasarea a două drepte prin P: una perpendiculară pe axa x și cealaltă perpendiculară pe axa y.

De exemplu, dacă luăm (a,b)=(4,3), atunci pe banda de coordonate

A construi un punct P(a,b) înseamnă a determina un punct cu coordonatele (a,b) pe planul de coordonate. De exemplu, în figura de mai jos sunt reprezentate diferite puncte.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, axele de coordonate împart planul în patru regiuni numite cadrane. Ele sunt numerotate în sens invers acelor de ceasornic cu cifre romane, așa cum se arată în figură.

Definiția unui grafic

Programa ecuația cu două variabile x și y este mulțimea de puncte de pe planul xy ale căror coordonate sunt membre ale mulțimii de soluții ale acestei ecuații

Exemplu: desenați un grafic cu y = x 2

Deoarece 1/x este nedefinit când x=0, putem reprezenta numai puncte pentru care x ≠0

Exemplu: Găsiți toate intersecțiile cu axe
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Fie y = 0, apoi 3x = 6 sau x = 2

este interceptarea x dorită.

După ce am stabilit că x=0, aflăm că punctul de intersecție al axei y este punctul y=3.

În acest fel puteți rezolva ecuația (b) și soluția pentru (c) este dată mai jos

interceptarea x

Fie y = 0

1/x = 0 => x nu poate fi determinat, adică nu există intersecție cu axa y

Fie x = 0

y = 1/0 => y este de asemenea nedefinit, => nicio intersecție cu axa y

În figura de mai jos, punctele (x,y), (-x,y), (x,-y) și (-x,-y) reprezintă colțurile dreptunghiului.

Un grafic este simetric față de axa x dacă pentru fiecare punct (x,y) de pe grafic, punctul (x,-y) este, de asemenea, un punct de pe grafic.

Un grafic este simetric față de axa y dacă pentru fiecare punct de pe grafic (x,y), punctul (-x,y) aparține și el graficului.

Un grafic este simetric față de centrul coordonatelor dacă pentru fiecare punct (x,y) de pe grafic, punctul (-x,-y) aparține de asemenea acestui grafic.

Definiţie:

Programa funcții pe planul de coordonate este definit ca graficul ecuației y = f(x)

Graficul f(x) = x + 2

Exemplul 2. Trasează graficul f(x) = |x|

Graficul coincide cu linia y = x pentru x > 0 și cu linia y = -x

pentru x< 0 .

graficul lui f(x) = -x

Combinând aceste două grafice obținem

graficul f(x) = |x|

Exemplul 3: Trasează un grafic

t(x) = (x 2 - 4)/(x - 2) =

= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Prin urmare, această funcție poate fi scrisă ca

y = x + 2 x ≠ 2

Graficul h(x)= x 2 - 4 Sau x - 2

graficul y = x + 2 x ≠ 2

Exemplul 4: Trasează un grafic

Grafice de funcții cu deplasare

Să presupunem că graficul funcției f(x) este cunoscut

Apoi putem găsi graficele

y = f(x) + c - graficul funcției f(x), deplasat

UP c valori

y = f(x) - c - graficul funcției f(x), deplasat

JOS cu valorile c

y = f(x + c) - graficul funcției f(x), deplasat

LEFT cu valorile c

y = f(x - c) - graficul funcției f(x), deplasat

Chiar după valorile c

Exemplul 5: Construire

graficul y = f(x) = |x - 3| + 2

Să mutăm graficul y = |x| 3 valori la DREAPTA pentru a obține graficul

Să mutăm graficul y = |x - 3| UP 2 valori pentru a obține graficul y = |x - 3| + 2

Trasează un grafic

y = x 2 - 4x + 5

Să transformăm ecuația dată după cum urmează, adăugând 4 la ambele părți:

y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4

y = (x - 2) 2 + 1

Aici vedem că acest grafic poate fi obținut prin mutarea graficului lui y = x 2 la dreapta cu 2 valori, deoarece x - 2, și în sus cu 1 valoare, deoarece +1.

y = x 2 - 4x + 5

Reflecții

(-x, y) este o reflectare a lui (x, y) în jurul axei y

(x, -y) este o reflectare a lui (x, y) în jurul axei x

Graficele y = f(x) și y = f(-x) sunt reflexii unul celuilalt față de axa y

Graficele y = f(x) și y = -f(x) sunt reflexii unul celuilalt în raport cu axa x

Graficul poate fi obținut prin reflectarea și deplasarea:

Desenați un grafic

Să găsim reflexia acesteia în raport cu axa y și să obținem un grafic

Să mutăm acest grafic corect cu 2 valori și obținem un grafic

Iată graficul pe care îl căutați

Dacă f(x) este înmulțit cu o constantă pozitivă c, atunci

graficul f(x) este comprimat vertical dacă 0< c < 1

graficul f(x) este întins pe verticală dacă c > 1

Curba nu este un grafic al lui y = f(x) pentru nicio funcție f

În această lecție vom arunca o privire mai atentă asupra graficării ecuațiilor. În primul rând, să ne amintim ce este o ecuație rațională și setul soluțiilor sale care formează graficul ecuației. Să aruncăm o privire mai atentă la graficul unei ecuații liniare și la proprietățile unei funcții liniare și să învățăm cum să citim grafice. Apoi, luați în considerare graficul unei ecuații pătratice și proprietățile unei funcții pătratice. Luați în considerare funcția hiperbolică și graficul acesteia și graficul ecuației unui cerc. În continuare, să trecem la construirea și studierea unui set de grafice.

Tema: Sisteme de ecuații

Lecția: Reprezentarea grafică a ecuațiilor

Considerăm o ecuație rațională de formă și un sistem de ecuații raționale de formă

Am spus că fiecare ecuație din acest sistem are propriul grafic, dacă, desigur, există soluții ale ecuațiilor. Ne-am uitat la mai multe grafice ale diferitelor ecuații.

Acum vom lua în considerare sistematic fiecare dintre ecuațiile cunoscute nouă, adică. hai sa trecem in revista grafice de ecuații.

1. Ecuație liniară cu două variabile

x, y - la primul grad; a,b,c - numere specifice.

Exemplu:

Graficul acestei ecuații este o linie dreaptă.

În acest caz

Cunoscând graficul ecuației, putem spune multe despre soluțiile ecuației inițiale și anume: dacă dacă

Această funcție crește, adică pe măsură ce x crește, și crește. Avem două soluții particulare, dar cum putem scrie setul tuturor soluțiilor?

Dacă un punct are o abscisă x, atunci ordonata acestui punct este

Deci numere

Am avut o ecuație, am făcut un grafic, am găsit soluții. Setul tuturor perechilor - câte sunt? nenumărate.

Aceasta este o ecuație rațională

Să găsim y și prin transformări echivalente obținem

Să o punem și să obținem o funcție pătratică, graficul ei ne este cunoscut.

Exemplu: Reprezentați grafic o ecuație rațională.

Graficul este o parabolă, ramurile sunt îndreptate în sus.

Să găsim rădăcinile ecuației:

Să reprezentăm schematic graficul ( Orez. 2).

Ecuația are nenumărate soluții, adică există nenumărate perechi care satisfac ecuația, dar toate Și ce ar putea fi x? Cineva!

Dacă stabilim orice x, obținem un punct

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

3. Reprezentați grafic ecuația

Este necesar să exprimăm y. Să luăm în considerare două opțiuni.

Graficul unei funcții este o hiperbolă, funcția nu este definită când

Funcția este în scădere.

Dacă luăm un punct cu o abscisă, atunci ordonata lui va fi egală cu

Soluția ecuației inițiale este mulțimea de perechi

Hiperbola construită poate fi deplasată în raport cu axele de coordonate.

De exemplu, graficul unei funcții - de asemenea o hiperbolă - va fi deplasată cu unu în sus de-a lungul axei y.

4. Ecuația unui cerc

Aceasta este o ecuație rațională cu două variabile. Mulțimea soluției sunt punctele cercului. Centrul în punctul de rază este egal cu R (Fig. 4).

Să ne uităm la exemple specifice.

Să reducem ecuația la forma standard a ecuației unui cerc pentru aceasta selectăm pătratul complet al sumei:

- a obţinut ecuaţia unui cerc cu centrul la .

Să tragem ecuația (Fig. 5).

b. Reprezentați grafic ecuația

Amintiți-vă că un produs este egal cu zero dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero și al doilea există.

Graficul unei ecuații date constă dintr-un set de grafice ale primei și celei de-a doua ecuații, i.e. două linii drepte.

Să-l construim (Fig. 6).

În mod similar, construim un grafic al celei de-a doua ecuații. Linia dreaptă trece prin punctul (0; 1), dar crește deoarece panta este pozitivă.

Coordonatele tuturor punctelor celor două drepte construite sunt soluția ecuației.

Astfel, am analizat graficele celor mai importante ecuații raționale, acestea vor fi utilizate atât în metoda grafică, cât și în ilustrarea altor metode de rezolvare a sistemelor de ecuații.

1. Mordkovich A.G. si altele Algebra clasa a IX-a: Manual. Pentru invatamantul general Instituții.- Ed. a IV-a. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebră. clasa a 9-a. a 16-a ed. - M., 2011. - 287 p.

1. College.ru secțiunea de matematică ().

2. Proiectul Internet „Sarcini” ().

3. Portal educațional „VOI REZOLVA Examenul Unificat de Stat” ().

OBIECTIV:1) Introducerea elevilor în conceptul de „ecuație cu două variabile”;

2) Învățați să determinați gradul unei ecuații cu două variabile;

3) Învățați să determinați dintr-o funcție dată care figură este un grafic

ecuația dată;

4) Se consideră transformări ale graficelor cu două variabile;

ecuație dată cu două variabile folosind programul Agrapher;

6) Dezvoltați gândirea logică a elevilor.

I. Material nou - o prelegere explicativă cu elemente de conversație.

(prelegerea se desfășoară folosind diapozitivele autorului; graficele sunt desenate în programul Agrapher)

T: Când studiezi liniile, apar două probleme:

Folosind proprietățile geometrice ale unei linii date, găsiți ecuația acesteia;

Problemă inversă: dată fiind ecuația unei drepte, studiați proprietățile geometrice ale acesteia.

Am considerat prima problemă din cursul de geometrie în raport cu cercuri și drepte.

Astăzi vom analiza problema inversă.

Luați în considerare ecuații de forma:

O) x(x-y)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

sunt exemple de ecuații cu două variabile.

Ecuații cu două variabile XŞi la arata ca f(x,y)=(x,y), Unde fŞi – expresii cu variabile XŞi u.

Dacă în Ec. x(x-y)=4înlocuirea variabilei X valoarea sa este -1 și, în schimb la– valoarea 3, atunci se va obține egalitatea corectă: 1*(-1-3)=4,

Pereche (-1; 3) valori variabile XŞi la este o soluție a ecuației x(x-y)=4.

Adică rezolvarea ecuației cu două variabile se numește setul de perechi ordonate de valori ale variabilelor care formează această ecuație într-o egalitate adevărată.

Ecuațiile cu două variabile au de obicei infinite soluții. Excepții formează, de exemplu, ecuații precum X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 sau

2x 2 + la 2 = 0 .

Prima dintre ele are două soluții (0; -2) și (0; 2), a doua are o soluție (0; 0).

Gradul unei ecuații cu două variabile, reprezentat sub forma F(x, y) = 0, unde F(x, y) este un polinom de formă standard, se numește gradul polinomului F(x, y).

Dacă toate soluțiile unei ecuații cu două variabile sunt reprezentate ca puncte în planul de coordonate, veți obține un grafic al unei ecuații cu două variabile.