Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să trasăm valorile argumentului pe axa absciselor X, iar pe ordonată - valorile funcției y = f(x).
Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.
Cu alte cuvinte, graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).
În fig. 45 și 46 prezintă grafice ale funcțiilor y = 2x + 1Şi y = x 2 - 2x.
Strict vorbind, ar trebui să distingem între un grafic al unei funcții (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și o curbă desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar partea lui situată în părțile finale ale planului). În cele ce urmează, totuși, vom spune în general „grafic” mai degrabă decât „schiță grafică”.
Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului de definire a funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să faci asta. Este necesar prin punctul de abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa ordonatelor; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).
De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.
Un grafic al funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, luând în considerare fig. 46 este clar că funcţia y = x 2 - 2x ia valori pozitive când X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; cea mai mică valoare funcţie y = x 2 - 2x acceptă la x = 1.
Pentru a reprezenta grafic o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil de făcut, deoarece există un număr infinit de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1, x 2, x 3,..., x k și creați un tabel care include valorile funcției selectate.
Tabelul arată astfel:
După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).
Trebuie remarcat, totuși, că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele dorite și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.
Exemplul 1. Pentru a reprezenta grafic o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:
Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.
Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 cu o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.
Pentru a fundamenta afirmația noastră, luați în considerare funcția
.
Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise exact de tabelul de mai sus. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu ar fi funcția y = x + l + sinπx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.
Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta graficul unei funcții date, se procedează de obicei după cum urmează. În primul rând, studiem proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia putem construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile stabilite ale funcției), ei găsesc punctele corespunzătoare grafică. Și în final, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.
Ne vom uita la unele (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță grafică mai târziu, dar acum ne vom uita la câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru construirea de grafice.
Graficul funcției y = |f(x)|.
Adesea este necesar să se traseze o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - pentru această funcție. Să vă reamintim cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a unui număr, putem scrie
Aceasta înseamnă că graficul funcției y =|f(x)| poate fi obținută din grafic, funcție y = f(x) astfel: toate punctele de pe graficul funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x) având coordonate negative, ar trebui să construiți punctele corespunzătoare pe graficul funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).
Exemplul 2. Reprezentați grafic funcția y = |x|.
Să luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte a acestui grafic la X< 0 (întins sub ax X) reflectată simetric în raport cu axa X. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y = |x|(Fig. 50, b).
Exemplul 3. Reprezentați grafic funcția y = |x 2 - 2x|.
În primul rând, să diagramăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa x în punctele 0 și 2. În intervalul (0; 2) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului reflectată simetric față de axa absciselor. Figura 51 prezintă graficul funcției y = |x 2 -2x|, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x
Graficul funcției y = f(x) + g(x)
Luați în considerare problema construirii unui grafic al unei funcții y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x).
Rețineți că domeniul de definiție al funcției y = |f(x) + g(x)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x) și g(x).
Lasă punctele (x 0 , y 1) Și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f(x)Şi y = g(x), adică y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. și orice punct din graficul funcției y = f(x) + g(x) poate fi obtinut in acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). Şi y = g(x)înlocuind fiecare punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 = g(x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)Şi y = g(x).
Această metodă de reprezentare a unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunarea graficelor de funcții y = f(x)Şi y = g(x)
Exemplul 4. În figură, un grafic al funcției a fost construit folosind metoda de adunare a graficelor
y = x + sinx.
La trasarea unei funcții y = x + sinx am crezut că f(x) = x, O g(x) = sinx. Pentru a reprezenta graficul funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Să calculăm la punctele selectate și să plasăm rezultatele în tabel.
„Transformarea funcțiilor” - Seesaw. Deplasați axa y în sus. Dați volumul la maxim - veți crește a (amplitudinea) vibrațiilor aerului. Mutați axa x la stânga. Obiectivele lecției. 3 puncte. Muzică. Trasează funcția și determină D(f), E(f) și T: compresie de-a lungul axei x. Deplasați axa y în jos. Adăugați roșu în paletă și reduceți k (frecvența) oscilațiilor electromagnetice.
„Funcțiile mai multor variabile” - Derivate de ordin superior. O funcție a două variabile poate fi reprezentată grafic. Calcul diferențial și integral. Puncte interne și de limită. Determinarea limitei unei funcţii de 2 variabile. Bine analiză matematică. Berman. Limita unei funcții de 2 variabile. Graficul funcției. Teorema. Suprafață limitată.
„Conceptul unei funcții” - Metode de reprezentare grafică a unei funcții pătratice. Studiind moduri diferite precizarea unei funcţii este o tehnică metodologică importantă. Caracteristici ale studierii funcțiilor pătratice. Interpretarea genetică a conceptului „funcție”. Funcții și grafice într-un curs școlar de matematică. Introducere la funcţie liniară iese în evidență la trasarea unui grafic al unei funcții liniare.
„Funcția de temă” - Analiză. Este necesar să se afle nu ceea ce elevul nu știe, ci ceea ce știe. Punerea bazelor succesului promovarea examenului de stat unificatși admiterea la universități. Sinteză. Dacă elevii lucrează diferit, atunci profesorul ar trebui să lucreze cu ei diferit. Analogie. Generalizare. Distribuția sarcinilor Unified State Exam pe blocuri principale de conținut curs şcolar matematică.
„Transformarea graficelor de funcții” - Repetați tipurile de transformări grafice. Potriviți fiecare grafic cu o funcție. Simetrie. Obiectivul lecției: Construirea graficelor de funcții complexe. Să ne uităm la exemple de transformări și să explicăm fiecare tip de transformare. Transformarea graficelor de funcții. Întinderea. Consolidarea construcției de grafice de funcții folosind transformări de grafice de funcții elementare.
„Grafice de funcții” - Tipul funcției. Gama de valori ale unei funcții este toate valorile variabilei dependente y. Graficul unei funcții este o parabolă. Graficul unei funcții este o parabolă cubică. Graficul unei funcții este o hiperbolă. Domeniul de definiție și domeniul de valori ale unei funcții. Corelați fiecare linie cu ecuația sa: domeniul de definiție al funcției este toate valorile variabilei independente x.
Construiți o curbă dată de ecuații parametrice\
Să examinăm mai întâi graficele funcțiilor \(x\left(t \right)\) și \(x\left(t \right)\). Ambele funcții sunt polinoame cubice care sunt definite pentru toate \(x \in \mathbb(R).\) Găsiți derivata \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \). dreapta) = (\left(((t^3) + (t^2) - t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Rezolvarea ecuației \ ( x"\left(t \right) = 0,\) definește punctele staţionare funcții \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0, )\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3). ) \] La \(t = 1\) funcția \(x\left(t \right)\) atinge un maxim egal cu \și în punctul \(t = \large\frac(1)(3)\ normalsize\) are un minim egal cu \[ (x\left((\frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^ 3) + ( \left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)(( 27)) + \frac(1)(9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Se consideră derivata \(y"\left(t \right) ):\) \ [ (y"\left(t \right) = (\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t) ^2) + 4t - 4.) \] Găsiți punctele staționare ale funcției \(y\left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\ ; (\Săgeată la dreapta 3(t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2;\;\frac(2)(3).) \] Aici, în mod similar, funcția \(y\left(t \right)\) atinge un maxim în punctul \(t = -2:\)\ și un minim în punctul \(t = \large\frac(2)( 3)\normalsize: \) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(2)(3)) \right)^3) + 2(\left ((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac (8)(9 ) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafice ale funcțiilor \(x\left(t \right)\) , \(y\left (t \right)\) sunt prezentate schematic în figura \(15a.\)
Fig.15a |
Fig.15b |
Fig.15c |
Rețineți că, deoarece \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] atunci curba \(y\left(x \right)\) nu are nici verticală, fără asimptote orizontale. Mai mult, deoarece \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\color (albastru)(t^3)) + \color(roșu)(2(t^2)) - \color(verde)(4t) - \cancel(\color(albastru)(t^3)) - \culoare (roșu)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] atunci curba \(y\left(x \right)\) nu are nici asimptote oblice.
Să determinăm punctele de intersecție ale graficului \(y\left(x\right)\) cu axele de coordonate. Intersecția cu axa x are loc în următoarele puncte: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Săgeată la dreapta t\stânga(((t^2) + 2t - 4) \dreapta) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Săgeată la dreapta (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Săgeată la dreapta (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
Pe al doilea interval \(\left(( - 2, - 1) \right)\) variabila \(x\) crește de la \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) la \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) iar variabila \(y\) scade de la \(y\left(( - 2) \right) = 8\) la \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Aici avem o secțiune a unei curbe descrescătoare \(y\left(x \right).\) Ea intersectează axa ordonatelor în punctul \(\left((0,3). + 2\sqrt 5 ) \dreapta).\)
În al treilea interval \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ambele variabile scad. Valoarea lui \(x\) se modifică de la \(x\left(( - 1) \right) = 1\) la \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) În consecință, valoarea lui \(y\) scade de la \(y\left(( - 1) \right) = 5\) la \(y\ stânga((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Curba \(y\left(x \right)\ ) intersectează originea coordonatelor.
Pe al patrulea interval \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) variabila \(x\) crește de la \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) la \(x\left((\ mare\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) iar variabila \(y\) scade de la \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) la \(y\left((\large\frac(2)) 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) În această secțiune, curba \(y\left(x \right)\) intersectează axa ordonatelor la punctul \(\left((0,3 - 2\sqrt 5 )\dreapta).\)
În cele din urmă, pe ultimul interval \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) ambele funcții \(x\left(t \right)\), \ (y\stânga(t\dreapta)\) crește. Curba \(y\left(x \right)\) intersectează axa x în punctul \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \aprox 2,18.\)
Pentru a clarifica forma curbei \(y\left(x \right)\), să calculăm punctele maxime și minime. Derivata \(y"\left(x \right)\) este exprimată ca \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) (((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime )))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3))) \ dreapta)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ stânga((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))(\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Modificarea semnului derivatei \(y"\left(x \right)\) este prezentată în figura \(15c.\) Se poate se vede că în punctul \(t = - 2,\) adică. la limita intervalelor \(I\)-th și \(II\)-th, curba are un maxim, iar la \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (la granița intervalelor \(IV\)-lea și \(V\)-lea) există un minim. Când trece prin punctul \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), derivata își schimbă și semnul din plus în minus, dar în această regiune curba \(y\left(x \right) \) nu este o funcție unică. Prin urmare, punctul indicat nu este un extremum.
De asemenea, examinăm convexitatea acestei curbe. Derivată a doua\(y""\left(x \right)\) are forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2)) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ dreapta ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \cancel(\color(albastru)(18(t^3))) - \color(roșu)(30(t^2)) + \color(verde)(16t) + \color(maroon) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) ) + \color(verde)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1)) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right)))^3)((\left((3t - 1) \right))^3))). \] În consecință, derivata a doua își schimbă semnul în opus când trece prin următoarele puncte (Fig.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \aproximativ 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \aprox 40,8.) \] Prin urmare, punctele indicate reprezintă puncte de inflexiune ale curbei \(y\left( x \dreapta).\)
Un grafic schematic al curbei \(y\left(x\right)\) este prezentat mai sus în figura \(15b.\)
Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vedere generală Parabola este prezentată în figura de mai jos.
Funcția pătratică
Fig 1. Vedere generală a parabolei
După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.
Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).
Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice
1. La x =0, y=0 și y>0 la x0
2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.
3. Funcția scade pe interval (-∞;0] și crește pe interval)