Координатами вектора
Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой
Как образуется базис на плоскости
Как образуется базис в пространстве
Базисом векторного пространства называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов из этого пространства.
Определение Система векторов a1, a2, . . . , an из векторного пространства V называется системой образующих этого пространства, если любой вектор из V линейно выражается через векторы a1, a2, . . . , an.
Упорядоченная система векторов является базисом векторного пространства V тогда и только тогда, когда она является линейно независимой системой образующих этого пространства
Что называется декартовым базисом
Если векторы e1, e2, e3 взаимно ортогональны и по модулю равны единице, то они называются ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам базис ортонормированным декартовым базисом.
Сформулировать свойства координат векторов в декартовом базисе
Что называется координатами точки
Расстояния точки от координатных плоскостей называют координатами точки.
Расстояние АА 1 точки от плоскости П 1 называют аппликатой точки и обозначают у А, расстояние АА 2 точки от плоскости П 2 - ординатой точки и обозначают - у А, расстояние АА 3 точки от плоскости П 3 - абсциссой точки и обозначают х А.
Очевидно, координата точки аппликата z A есть высота АА 1 , координата точки ордината у A - глубина АА 2 , координата точки абсцисса х А - широтаАА 3 .
Как вычисляются координаты вектора если известны координаты его конца и начала
Как вычислять расстояние между двумя точками если известны их координаты
Сама знаешь что АВ (x1-x2;y1-y2)
Расстояние между точками это длина вектора АВ.
Что такое направляющие косинусы
Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Что называется проекцией вектора на ось, доказать свойства проекций.
Проекцией вектора на ось l () называется длина его компоненты на ось l , взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l , и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси.
Если = , то полагают = .
Теорема I Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l.
Доказательство. Так как вектор = свободный, то можно предположить, что начало его О лежит на оси l (рис. 34).
Если угол острый, то направление компоненты = , вектора совпадает с направлением оси l (рис 34,а).
В этом случае имеем = + = . Если же угол (рис. 34, б), то направление компоненты = вектора противоположно направлению оси l. Тогда получаем = = cos( - ) = сos
То же - на вектор.
Что такое скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Сформулировать условие ортогональности векторов
Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны) , если их скалярное произведение равно нулю.
Доказать свойства скалярного произведения векторов
Свойства скалярного произведения векторов
- Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
- Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
- Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
- Операция скалярного умножения коммуникативна:
- Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
- (αa) · b = α(a · b)
- Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Вывести выражение скалярного произведения через координаты
Сформулировать свойства векторного произведения
ТОЛЬКО 1 ФОРМУЛУ
Сверху это определитель.
Аналитическая геометрия
1. Доказать теоремы об общем уравнении прямой на плоскости
2. Провести исследование общего уравнения прямой на плоскости
3. Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях
4. Вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, записать параметрические уравнения, вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
5. Как определяют угол между прямыми на плоскости, если они заданы каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом?
6. Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости
7. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
8. Доказать теоремы об общем уравнении плоскости
9. Сформулировать и доказать теорему о взаимном расположении пары плоскостей
10. Провести исследование общего уравнения плоскости
11. Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки
12. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости
13. Как вычисляется угол между плоскостями?
14. Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
15. Записать общий вид уравнений прямой в пространстве, получить канонический вид уравнений прямой в пространстве
16. Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве, а также прямой, проходящей через две точки пространства.
17. Как определятся угол между двумя прямыми в пространстве? Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
18. Как определяется угол между прямой и плоскостью? Записать условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости
19. Получить условие принадлежности двух прямых одной плоскости
1. Что такое функция, каковы способы ее задания?
2. Что такое чётная и нечетная функции, как строить их графики
3. Что такое периодическая и обратная функции, как строить их графики
4. Изобразить в графиках показательную и логарифмическую функции при a>1, a<1.
5. Что такое гармоническая зависимость, каков вид ёё графика?
6. Изобразить графики y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx
7. Что такое элементарная функция. Графики основных элементарных функций
8. Как строить графики вида y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)
9. Что такое числовая последовательность, каковы способы ее задания?
10. Что такое монотонная и ограниченная последовательность?
11. Что называется пределом последовательности? Записать определение того, что данное число не является пределом данной последовательности
12. Сформулировать свойства пределов последовательностей
13. Доказать два основных свойства сходящихся последовательностей
14. Какое из них дает необходимое условие сходимости?
15. Сформулировать теорему, которая дает достаточное условие сходимости последовательности
16. Доказать любое из свойств пределов последовательностей
17. Что такое бесконечно малая (большая) последовательность?
18. Сформулировать свойства бесконечно малых последовательностей
19. Что называется пределом функции?
20. Сформулировать свойства пределов функций
21. Что называется односторонним пределом?
22. Записать первый замечательный предел и вывести его следствие
23. Записать второй замечательный предел и вывести его следствия
24. Какие функции называют бесконечно малой, ограниченной, бесконечно большой?
25. Сформулировать свойства бесконечно малых функций, доказать любое из них
26. Какие понятия вводятся для сравнения бесконечно малых функций, дать их определения
27. Какая функция называется непрерывной в заданной точке?
28. Сформулировать критерий непрерывности и охарактеризовать виды разрывов
29. Что такое производная функции в фиксированной точке?
30. Что называется односторонними производными?
31. Что такое дифференциал функции и как он связан с приращением функции?
32. Физический смысл первой и второй производных
33. Что такое производная функция от функции?
34. Перечислить свойства производных, доказать два из них (u+v)" и (uv)"
35. Записать таблицу производных, доказать любые две формулы
36. Каков геометрический смысл производной и дифференциала?
37. Вывести уравнение касательной и нормали к графику функции
38. Доказать теорему о производной сложной функции
39. Вывести производную обратной функции (привести пример её нахождения)
40. Обосновать теорему об исчислении производных
41. Доказать все теоремы о среднем для дифференцируемых функций
42. Сформулировать и доказать правило Лопиталя
43. Какие функции называются возрастающими и убывающими на интервале?
44. Доказать теоремы о связи производной с возрастанием функции
45. Что такое точки экстремума?
46. Обосновать необходимое условие экстремума
47. Вывести два вида достаточного условия экстремума
48. Как находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
49. Что называется выпуклой и вогнутой функцией?
50. Как исследовать функцию на выпуклость и вогнутость? Что называется точками перегиба?
51. Асимптоты - дать определения, пояснить способы нахождения
52. Вывести формулу нахождения производной (первой и второй) параметрически заданной функции
53. Что такое вектор-функция, её годограф и его механический смысл?
54. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности
55. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при неравномерном движении по окружности
56. Получить производные функции y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx
Что называется координатами вектора
Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:
Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой . То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .
Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.
Определение 1
Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.
Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач
Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y).
Пример 1
Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.
Координатные векторы
Определение 2Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.
Пример 2
Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.
Разложение вектора
Определение 3Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .
Определение 4
Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.
Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = (2 ; - 3) означает, что вектор a → имеет координаты (2 ; - 3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → - 3 · j → .
Замечание
Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.
Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты (1 ; 0) и (0 ; 1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .
Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами (0 ; 0) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .
Равные и противоположные векторы
Определение 5Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.
Определение 6
Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.
Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, - a → = (- a x ; - a y) .
Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения (a x ; a y ; a z) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.
Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = (1 ; 0 ; 0) , j → = (0 ; 1 ; 0) , k → = (0 ; 0 ; 1) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = (0 ; 0 ; 0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, - a → = (- a x ; - a y ; - a z) .
Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.
Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M (x M ; y M) .
Определение 7
Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .
Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки
Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → - координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты (x M ; y M) в данной системе координат.
Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.
Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M (x M ; y M ; z M) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = (x M ; y M ; z M) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Прямоугольная система координат
Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.
Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)
Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Координаты точки
Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).
Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).
Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.
Пример 1
Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.
Решение .
Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.
Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$
Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$
Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения
Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $\overline{i}$, по направлению оси $Oy$ - единичный вектор $\overline{j}$, а единичный вектор $\overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.
Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).
Теорема 1
Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.
Математически это выглядит следующим образом:
$\overline{δ}=m\overline{α}+n\overline{β}+l\overline{γ}$
Так как векторы $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $\overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид
$\overline{δ}=m\overline{i}+n\overline{j}+l\overline{k}$ (1)
где $n,m,l∈R$.
Определение 1
Три вектора $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ будут называться координатными векторами.
Определение 2
Коэффициенты перед векторами $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть
$\overline{δ}=(m,n,l)$
Линейные операции над векторами
Теорема 2
Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.
Доказательство .
Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Эти вектора можно записать следующим образом
$\overline{α}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, $\overline{β}=β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}$
На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).
Формула определения координат вектора для двухмерных задач.
В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).
Формула определения координат вектора для пространственных задач.
В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).
Свойства координат вектора.
1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .
2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.
3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .
4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .
6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.