Segna sul cerchio dell'unità i punti corrispondenti al numero. cerchio trigonometrico. Teoria dettagliata con esempi. Linee guida per lo studio della disciplina e l'esecuzione delle prove per gli studenti dei corsi per corrispondenza Tutte le specialità

Se metti il ​​​​cerchio del numero di unità piano delle coordinate, quindi puoi trovare le coordinate per i suoi punti. Il cerchio numerico è posizionato in modo che il suo centro coincida con l'origine del piano, cioè il punto O (0; 0).

Di solito, su un cerchio con numero di unità, i punti sono contrassegnati in corrispondenza dell'origine sul cerchio

  • quarti - 0 o 2π, π/2, π, (2π)/3,
  • quarti centrali - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
  • terzi quarti - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Sul piano delle coordinate, con la disposizione sopra del cerchio unitario su di esso, si possono trovare le coordinate corrispondenti a questi punti del cerchio.

È molto facile trovare le coordinate delle estremità dei quarti. Nel punto 0 del cerchio, la coordinata x è 1 e y è 0. Possiamo scrivere A (0) = A (1; 0).

La fine del primo trimestre sarà posizionata sull'asse y positivo. Pertanto, B (π/2) = B (0; 1).

La fine del secondo quarto è sull'ascissa negativa: C (π) = C (-1; 0).

Fine del terzo quarto: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ma come trovare le coordinate dei punti medi dei quarti? Per fare ciò, costruisci un triangolo rettangolo. La sua ipotenusa è un segmento dal centro del cerchio (o l'origine) al punto medio del quarto di cerchio. Questo è il raggio del cerchio. Poiché la circonferenza è unitaria, l'ipotenusa è uguale a 1. Successivamente, viene tracciata una perpendicolare da un punto della circonferenza a qualsiasi asse. Sia sull'asse x. Risulta un triangolo rettangolo, le cui lunghezze delle gambe sono le coordinate xey del punto del cerchio.

Un quarto di cerchio è 90º. E mezzo quarto è 45º. Poiché l'ipotenusa è attratta nel punto centrale del quarto, l'angolo tra l'ipotenusa e la gamba che esce dall'origine è di 45º. Ma la somma degli angoli di ogni triangolo è 180º. Pertanto, anche l'angolo tra l'ipotenusa e l'altra gamba rimane 45º. Risulta un triangolo rettangolo isoscele.

Dal teorema di Pitagora otteniamo l'equazione x 2 + y 2 = 1 2 . Poiché x = y e 1 2 = 1, l'equazione si semplifica in x 2 + x 2 = 1. Risolvendolo, otteniamo x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Quindi, le coordinate del punto M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Nelle coordinate dei punti dei punti medi degli altri quarti, cambieranno solo i segni e i moduli dei valori rimarranno gli stessi, poiché il triangolo rettangolo si girerà solo. Noi abbiamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Quando si determinano le coordinate delle terze parti dei quarti del cerchio, viene costruito anche un triangolo rettangolo. Se prendiamo il punto π/6 e disegniamo una perpendicolare all'asse x, l'angolo tra l'ipotenusa e la gamba che giace sull'asse x sarà 30º. È noto che la gamba che giace di fronte a un angolo di 30º è uguale a metà dell'ipotenusa. Quindi abbiamo trovato la coordinata y, è uguale a ½.

Conoscendo le lunghezze dell'ipotenusa e di una delle gambe, per il teorema di Pitagora troviamo l'altra gamba:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Quindi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Per il punto del secondo terzo del primo quarto (π / 3), è meglio tracciare una perpendicolare all'asse rispetto all'asse y. Quindi anche l'angolo all'origine sarà 30º. Qui, la coordinata x sarà già uguale a ½ e y, rispettivamente, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Per altri punti del terzo quarto, i segni e l'ordine dei valori delle coordinate cambieranno. Tutti i punti più vicini all'asse x avranno un valore modulo della coordinata x uguale a √3/2. I punti più vicini all'asse y avranno un valore modulo y uguale a √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

5. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI QUALSIASI ARGOMENTO

§ 20. CERCHIO UNITARIO

948. Qual è la relazione tra la lunghezza dell'arco di una circonferenza unitaria e la sua misura in radianti?

949. Costruisci punti sulla circonferenza unitaria corrispondenti ai numeri: 0; uno; 2; 3; 4; 5; .... Qualcuno di questi punti può coincidere? Come mai?

950. I numeri sono dati dalla formula α = 1 / 2 K, dove K= 0; ±1; ±2; ....
Costruisci sull'asse dei numeri e sulla circonferenza unitaria i punti corrispondenti a questi numeri. Quanti di questi punti saranno sull'asse dei numeri e quanti sulla circonferenza unitaria?

951. Segna sul cerchio unitario e sull'asse numerico i punti corrispondenti ai numeri:
1) α = π K, K= 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π / 2 (2K + 1), K= 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = π K / 6 , K= 0; ±1; ±2; ... .
Quanti di questi punti sono sull'asse dei numeri e quanti sono sulla circonferenza unitaria?

952. Come verranno posizionati i punti corrispondenti ai numeri sull'asse dei numeri e sul cerchio unitario:
1) un e - un; 2) un e un± π; 3) un+ π e un- π; 4) un e un+ 2π K, K= 0; ±1; ±2; ...?

953. In cosa consiste differenza fondamentale tra la rappresentazione dei numeri dai punti dell'asse numerico e la loro rappresentazione dai punti del cerchio unitario?

954. 1) Trovare i più piccoli numeri non negativi corrispondenti ai punti di intersezione della circonferenza unitaria: a) con gli assi coordinati; b) con bisettrici di angoli coordinati.

2) In ogni caso, scrivi formula generale numeri corrispondenti ai punti specificati della circonferenza unitaria.

955. Sapendo ciò unè uno dei numeri corrispondenti a un dato punto della circonferenza unitaria, trova:
1) tutti i numeri corrispondenti a un dato punto;
2) tutti i numeri corrispondenti al punto della circonferenza unitaria simmetrica a quella data:
a) rispetto all'asse delle ascisse; b) rispetto all'asse y; c) relativo all'origine delle coordinate.
Risolvi il problema prendendo un = 0; π / 2; uno ; 2; π / 6; - pi / 4 .

956. Trova una condizione che soddisfi i numeri un corrisponde a:
1) punti del 1° quarto del cerchio unitario;
2) punti del 2° quarto del cerchio unitario;
3) punti del 3° quarto del cerchio unitario;
4) punti del 4° quarto del cerchio unitario.

957. Il vertice A dell'ottagono regolare ABCDEFKL inscritto nel cerchio unitario ha coordinate (1; 0) (Fig. 39).

1) Determinare le coordinate dei restanti vertici dell'ottagono.
2) Componi una formula generale per archi di circonferenza unitaria che terminano:
a) ai punti A, C, E e K; b) ai punti B, D, F e L; c) ai punti A, B, C, D, E, F, K e L.

958. 1) Sulla circonferenza unitaria, costruire un punto la cui ordinata sia 0,5. Quanti punti della circonferenza unitaria hanno una data ordinata? Come si trovano questi punti rispetto all'asse y.

2) Misurare con un goniometro (con una precisione di 1°) il più piccolo arco assoluto, la cui estremità ha un'ordinata pari a 0,5, e redigere una formula generale per archi di cerchio unitario che terminano in punti con un'ordinata di 0,5 .

959. Risolvi il problema 958, prendendo l'ordinata A uguale a:

1) - 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3 .

960. 1) Sulla circonferenza unitaria, costruisci un punto la cui ascissa è 0,5. Quanti punti del cerchio unitario hanno una data ascissa? Come si trovano questi punti rispetto all'asse x?

2) Misurare con un goniometro (con una precisione di 1°) il più piccolo arco positivo, la cui estremità ha un'ascissa pari a 0,5, e redigere una formula generale per archi di cerchio unitario che terminano in punti con un'ascissa di 0,5 .

961. Risolvi il problema 960, prendendo l'ascissa X uguale a:

1) - 2 / 3 ; 2) 0,4; 3) 0,5√2 .

962. Determina le coordinate degli estremi degli archi della circonferenza unitaria data dalla formula ( K= 0; ±1; ±2; ...):

1) α = 30°(2 K+ 1); 2) α = π K / 3 .

963. Esprimi in una formula la seguente serie di angoli ( K= 0; ±1; ±2; ...):

1) α 1 = 180° K+ 120° e α 2 = 180° K+ 30°;

2) α 1 = π K + π / 6 e α 2 = π K - π / 3 ;

3) α 1 = 90° K e α 2 = 45° (2 K + 1);

4) α 1 = π K e α 2 = π / 3 (3K± 1);

5) α 1 = 120° K± 15° e α 2 = 120° K± 45°;

6) α 1 = π K; α 2 = 2π K ± π / 3 e α 3 \u003d 2l K± 2π / 3 ;

7) α 1 = 180° K+ 140°; α2 = 180° K+ 80° e α 3 = 180° K+ 20°;

8) α 1 \u003d 180 ° K + (-1)K 60° e α 2 = 180° K - (-1)K 60°.

964. Elimina gli angoli ripetuti le seguenti formule (K= 0-±1; ±2; ...):

1) α 1 = 90° K e α 2 = 60° K+ 30°;

2) α 1 = π K / 2 e α 2 = π K / 5 ;

3) α 1 = 1/4 π K e α 2 = 1 / 2 π K± 1 / 4 π;

4) α 1 = π (2 K+ 1) - π / 6 e α 2 = 2 / 5 π K+ 1 / 30 π;

5) α 1 \u003d 72 ° K+ 36° e α 2 = 120° K+ 60°.



Coordinate X i punti che giacciono sulla circonferenza sono uguali a cos(θ) e le coordinate y corrispondono a sin(θ), dove θ è l'ampiezza dell'angolo.

  • Se trovi difficile ricordare questa regola, ricorda solo che nella coppia (cos; sin) "il seno viene per ultimo".
  • Questa regola può essere dedotta considerando i triangoli rettangoli e la definizione dei dati funzioni trigonometriche(il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra la lunghezza dell'opposto e il coseno della gamba adiacente all'ipotenusa).

Annota le coordinate di quattro punti sul cerchio. Un "cerchio unitario" è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Usalo per determinare le coordinate X e y in quattro punti di intersezione degli assi delle coordinate con il cerchio. Sopra, per chiarezza, abbiamo designato questi punti come "est", "nord", "ovest" e "sud", sebbene non abbiano nomi stabiliti.

  • "Est" corrisponde a un punto con coordinate (1; 0) .
  • "Nord" corrisponde a un punto con coordinate (0; 1) .
  • "Ovest" corrisponde a un punto con coordinate (-1; 0) .
  • "Sud" corrisponde a un punto con coordinate (0; -1) .
  • Questo è simile a un normale grafico, quindi non è necessario memorizzare questi valori, è sufficiente ricordare il principio di base.

  • Ricorda le coordinate dei punti nel primo quadrante. Il primo quadrante si trova nella parte in alto a destra del cerchio, dove si trovano le coordinate X e y assumere valori positivi. Queste sono le uniche coordinate che devi ricordare:

    Disegna linee rette e determina le coordinate dei punti della loro intersezione con il cerchio. Se disegni linee rette orizzontali e verticali dai punti di un quadrante, i secondi punti di intersezione di queste linee con il cerchio avranno coordinate X e y con gli stessi valori assoluti ma segni diversi. In altre parole, puoi tracciare linee orizzontali e verticali dai punti del primo quadrante e firmare i punti di intersezione con il cerchio con le stesse coordinate, ma allo stesso tempo lasciare spazio al segno corretto ("+" o "-" ) sulla sinistra.

  • Usa le regole di simmetria per determinare il segno delle coordinate. Esistono diversi modi per determinare dove inserire il segno "-":

    • ricorda le regole di base per i grafici regolari. Asse X negativo a sinistra e positivo a destra. Asse y negativo dal basso e positivo dall'alto;
    • inizia dal primo quadrante e disegna linee verso altri punti. Se la linea attraversa l'asse y, coordinare X cambierà il suo segno. Se la linea attraversa l'asse X, il segno della coordinata cambierà y;
    • ricorda che nel primo quadrante tutte le funzioni sono positive, nel secondo quadrante solo il seno è positivo, nel terzo quadrante solo la tangente è positiva, e nel quarto quadrante solo il coseno è positivo;
    • qualunque metodo utilizzi, dovresti ottenere (+,+) nel primo quadrante, (-,+) nel secondo, (-,-) nel terzo e (+,-) nel quarto.

  • Controlla se hai commesso un errore. Sotto è lista completa coordinate di punti "speciali" (tranne quattro punti sugli assi delle coordinate), se ci si sposta in senso antiorario lungo il cerchio unitario. Ricorda che per determinare tutti questi valori è sufficiente ricordare le coordinate dei punti solo nel primo quadrante:

    • primo quadrante :( 3 2 , 1 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ frac (1) (2)))); (2 2 , 2 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (1 2 , 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)), (\ frac (\ sqrt (3)) (2))));
    • secondo quadrante :( - 1 2 , 3 2 (\ displaystyle -(\ frac (1) (2)),(\ frac (\ sqrt (3)) (2)))); (- 2 2 , 2 2 (\ displaystyle -(\ frac (\ sqrt (2)) (2)), (\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 3 2 , 1 2 (\ displaystyle -(\ frac (\ sqrt (3)) (2)), (\ frac (1) (2))));
    • terzo quadrante :( - 3 2 , - 1 2 (\ displaystyle -(\ frac (\ sqrt (3)) (2)),-(\ frac (1) (2)))); (- 2 2 , - 2 2 (\ displaystyle -(\ frac (\ sqrt (2)) (2)),-(\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (- 1 2 , - 3 2 (\ displaystyle -(\ frac (1) (2)), - (\ frac (\ sqrt (3)) (2))));
    • quarto quadrante :( 1 2 , - 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)), -(\ frac (\ sqrt (3)) (2)))); (2 2 , - 2 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (2)) (2)),-(\ frac (\ sqrt (2)) (2)))); (3 2 , - 1 2 (\ displaystyle (\ frac (\ sqrt (3)) (2)),-(\ frac (1) (2)))).

    • >> Cerchio numerico


    Durante lo studio del corso di algebra delle classi 7-9, ci siamo finora occupati di funzioni algebriche, ad es. funzioni date analiticamente da espressioni, nella cui notazione sono state utilizzate operazioni algebriche su numeri e una variabile (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, esponenziazione, estrazione radice quadrata). Ma i modelli matematici di situazioni reali sono spesso associati a funzioni di tipo diverso, non algebriche. Con i primi rappresentanti della classe delle funzioni non algebriche - le funzioni trigonometriche - faremo conoscenza in questo capitolo. Studierai più in dettaglio le funzioni trigonometriche e altri tipi di funzioni non algebriche (esponenziali e logaritmiche) al liceo.
    Per introdurre le funzioni trigonometriche, abbiamo bisogno di una nuova modello matematico- un cerchio di numeri, che non hai ancora incontrato, ma conosci bene la linea dei numeri. Ricordiamo che una retta numerica è una retta su cui sono indicati il ​​punto di partenza O, la scala (singolo segmento) e la direzione positiva. Possiamo associare qualsiasi numero reale a un punto su una retta e viceversa.

    Come trovare il punto corrispondente M sulla retta dato il numero x? Il numero 0 corrisponde al punto di partenza O. Se x > 0, allora, spostandoti in linea retta dal punto 0 in direzione positiva, devi percorrere la n^esima lunghezza x; la fine di questo percorso sarà il punto desiderato M(x). Se x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

    E come abbiamo risolto il problema inverso, cioè come hai trovato la coordinata x di un dato punto M sulla retta dei numeri? Abbiamo trovato la lunghezza del segmento OM e l'abbiamo presa con il segno "+" o * - "a seconda di quale lato del punto O si trova il punto M sulla retta.

    Ma in vita reale muoversi non solo in linea retta. Abbastanza spesso, viene considerato il movimento cerchi. Ecco un esempio specifico. Considereremo il tapis roulant dello stadio come un cerchio (infatti, ovviamente non è un cerchio, ma ricorda come di solito i commentatori sportivi dicono: "il corridore ha fatto un cerchio", "è rimasto mezzo cerchio per correre verso il traguardo", ecc.), la sua lunghezza è di 400 M. La partenza è contrassegnata - punto A (Fig. 97). Il corridore dal punto A si muove in un cerchio in senso antiorario. Dove sarà tra i 200 metri? dopo 400 m? dopo 800 m? dopo 1500 m? E dove tracciare il traguardo se corre una maratona di 42 km e 195 m?

    Dopo 200 m si troverà nel punto C, diametralmente opposto al punto A (200 m è la lunghezza di metà del tapis roulant, cioè la lunghezza di metà cerchio). Dopo aver corso 400 m (cioè “un giro”, come dicono gli atleti), tornerà al punto A. Dopo aver corso 800 m (cioè “due giri”), sarà di nuovo al punto A. E che cosa sono i 1500 m ? Si tratta di "tre cerchi" (1200 m) più altri 300 m, cioè 3

    Tapis roulant - la fine di questa distanza sarà al punto 2) (Fig. 97).

    Dobbiamo affrontare la maratona. Dopo aver percorso 105 giri, l'atleta supererà la distanza 105-400 = 42.000 m, ovvero 42 km. Mancano 195 m al traguardo, che è 5 m meno della metà della circonferenza. Ciò significa che l'arrivo della distanza della maratona sarà al punto M, situato vicino al punto C (Fig. 97).

    Commento. Naturalmente, capisci la convenzione dell'ultimo esempio. Nessuno percorre la distanza della maratona intorno allo stadio, il massimo è di 10.000 m, cioè 25 cerchi.

    Puoi correre o percorrere un sentiero di qualsiasi lunghezza lungo la pista da corsa dello stadio. Ciò significa che qualsiasi numero positivo corrisponde a un punto: il "fine della distanza". Inoltre, qualsiasi numero negativo può essere associato a un punto del cerchio: basta solo far correre l'atleta nella direzione opposta, cioè partire dal punto A non in senso opposto, ma in senso orario. Quindi la pista di atletica dello stadio può essere considerata come un cerchio numerico.

    In linea di principio, qualsiasi cerchio può essere considerato numerico, ma in matematica è stato concordato di utilizzare un cerchio unitario per questo scopo: un cerchio con raggio 1. Questo sarà il nostro "tapis roulant". La lunghezza b di un cerchio di raggio K è calcolata con la formula La lunghezza di un semicerchio è n e la lunghezza di un quarto di cerchio è AB, BC, SB, DA in Fig. 98 - uguale Concordiamo di chiamare l'arco AB il primo quarto di cerchio unitario, l'arco BC - il secondo quarto, l'arco CB - il terzo quarto, l'arco DA - il quarto quarto (Fig. 98). Allo stesso tempo, di solito noi stiamo parlando sull'Open Arc, cioè su un arco senza le sue estremità (qualcosa come un intervallo su una linea numerica).


    Definizione. Viene fornito un cerchio unitario, su di esso è segnato il punto iniziale A: l'estremità destra del diametro orizzontale (Fig. 98). Abbiniamo ciascuno numero reale Punto del cerchio secondo la seguente regola:

    1) se x > 0, allora, muovendo dal punto A in senso antiorario (la direzione positiva del giro del cerchio), descriviamo un percorso lungo il cerchio con una lunghezza e il punto finale M di questo percorso sarà il desiderato punto: M = M (x);

    2) se x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

    0 assegniamo il punto A: A = A(0).

    Un cerchio unitario con una corrispondenza stabilita (tra numeri reali e punti del cerchio) sarà chiamato cerchio numerico.
    Esempio 1 Trova sul cerchio dei numeri
    Poiché i primi sei dei sette numeri indicati sono positivi, per trovare i punti corrispondenti sul cerchio, devi percorrere un percorso di una determinata lunghezza lungo il cerchio, spostandoti dal punto A in una direzione positiva. Allo stesso tempo, ne teniamo conto


    Il punto A corrisponde al numero 2, poiché, dopo aver percorso un percorso di lunghezza 2 lungo il cerchio, cioè esattamente un cerchio, in cui cadremo di nuovo punto di partenza A Quindi, A = A(2).
    Che cosa Quindi, spostandoti dal punto A in una direzione positiva, devi percorrere un intero cerchio.

    Commento. Quando siamo in 7a o 8a elementare lavorato con la retta dei numeri, abbiamo convenuto, per brevità, di non dire "il punto della retta corrispondente al numero x", ma di dire "il punto x". Rispetteremo esattamente lo stesso accordo quando lavoriamo con un cerchio numerico: "punto f" - questo significa che stiamo parlando di un punto del cerchio che corrisponde al numero
    Esempio 2
    Dividendo il primo quarto AB in tre parti uguali per i punti K e P, otteniamo:

    Esempio 3 Trova i punti sul cerchio dei numeri che corrispondono ai numeri
    Realizzeremo costruzioni utilizzando la Fig. 99. Rimandando l'arco AM (la sua lunghezza è uguale a -) dal punto A cinque volte in direzione negativa, otteniamo il punto!, - il centro dell'arco BC. Così,

    Commento. Nota alcune libertà che ci prendiamo usando il linguaggio matematico. È chiaro che l'arco AK e la lunghezza dell'arco AK sono cose diverse (il primo concetto è figura geometrica, e il secondo concetto è un numero). Ma entrambi sono indicati allo stesso modo: AK. Inoltre, se i punti A e K sono collegati da un segmento, allora sia il segmento risultante che la sua lunghezza sono indicati allo stesso modo: AK. Di solito è chiaro dal contesto quale significato è attribuito alla designazione (arco, lunghezza d'arco, segmento o lunghezza del segmento).

    Pertanto, due layout del cerchio dei numeri ci saranno molto utili.

    PRIMO DISPOSIZIONE
    Ciascuno dei quattro quarti del cerchio numerico è diviso in due parti uguali, ei loro “nomi” sono scritti vicino a ciascuno degli otto punti disponibili (Fig. 100).

    SECONDA DISPOSIZIONE Ciascuno dei quattro quarti del cerchio numerico è diviso in tre parti uguali, ei loro “nomi” sono scritti vicino a ciascuno dei dodici punti disponibili (Fig. 101).


    Nota che su entrambi i layout potremmo punti dati assegnare altri "nomi".
    Hai notato che in tutti gli esempi analizzati, le lunghezze degli archi
    espresso da alcune frazioni del numero n? Ciò non sorprende: dopo tutto, la lunghezza di un cerchio unitario è 2n, e se dividiamo il cerchio o il suo quarto in parti uguali, otteniamo archi le cui lunghezze sono espresse come frazioni del numero e. E voi cosa ne pensate, è possibile trovare un punto E tale sulla circonferenza unitaria che la lunghezza dell'arco AE sia uguale a 1? Immaginiamo:

    Argomentando in modo simile concludiamo che sulla circonferenza unitaria si possono trovare sia il punto Eg, per cui AE, = 1, sia il punto E2, per cui AEg = 2, e il punto E3, per cui AE3 = 3, e il punto E4, per il quale AE4 = 4, e il punto Eb, per il quale AEb = 5, e il punto E6, per il quale AE6 = 6. In fig. 102 (circa) sono contrassegnati i punti corrispondenti (inoltre, per orientamento, ciascuno dei quarti del cerchio unitario è diviso da trattini in tre parti uguali).


    Esempio 4 Trova sul cerchio del numero il punto corrispondente al numero -7.

    Abbiamo bisogno, partendo dal punto A (0) e muovendoci in direzione negativa (in senso orario), percorrere il percorso circolare di lunghezza 7. Se percorriamo un cerchio, otteniamo (circa) 6,28, il che significa che abbiamo ancora bisogno di percorrere (nella stessa direzione) un percorso di lunghezza 0,72. Cos'è questo arco? Poco meno di mezzo quarto di cerchio, cioè la sua lunghezza è inferiore al numero -.

    Quindi, un cerchio numerico, come una retta numerica, ogni numero reale corrisponde a un punto (solo, ovviamente, è più facile trovarlo su una retta che su un cerchio). Ma per una retta vale anche il contrario: ogni punto corrisponde a un solo numero. Per un cerchio numerico, una tale affermazione non è vera, ci siamo più volte convinti di questo sopra. Per un cerchio di numeri, la seguente affermazione è vera.
    Se il punto M del cerchio numerico corrisponde al numero I, allora corrisponde anche al numero della forma I + 2k, dove k è un qualsiasi intero (k e 2).

    Infatti, 2n è la lunghezza del cerchio numerico (unità), e l'intero |d| può essere considerato come il numero di giri completi del cerchio in una direzione o nell'altra. Se, ad esempio, k = 3, significa che facciamo tre giri del cerchio in direzione positiva; se k \u003d -7, significa che facciamo sette (| k | \u003d | -71 \u003d 7) giri del cerchio nella direzione negativa. Ma se siamo al punto M(1), allora facendo di più | a | cerchi chiusi, ci ritroveremo di nuovo al punto M.

    AG Algebra di Mordkovich Grado 10

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    Decisione:

    1) Poiché 7π = 3٠2π + π , girare di 7π produce lo stesso punto di girare di π, cioè si ottiene un punto con coordinate (- 1; 0). (fig.9)

    2) Poiché = -2π - , quindi l'accensione produce lo stesso punto dell'accensione - , cioè si ottiene un punto di coordinate (0; 1) (Fig. 10)

    Fig.9 Fig.10

    Compito #2

    Annota tutti gli angoli di cui devi ruotare il punto (1; 0) per ottenere il punto

    N
    .

    Decisione:

    A partire dal triangolo rettangolo AON (Fig. 11) ne consegue che l'angolo AON è , cioè uno dei possibili angoli di rotazione è . Pertanto, tutti gli angoli di cui il punto (1;0) deve essere ruotato per ottenere il punto sono espressi come segue: + 2πk, dove k è un qualsiasi intero.

    Fig.11

    Esercizi per l'autorisoluzione:

    1°. Costruire un punto sulla circonferenza unitaria ottenuta ruotando il punto (1; 0) di un dato angolo:

    a) 4π; b) - 225°; in) - ; G) - ; e)
    ; e)
    .

    2°. Trova le coordinate del punto ottenute ruotando il punto Р(1;0) di un angolo:

    a) 3π; b) -
    ; c) 540°;

    d) 810°; e)
    , k è un numero intero; e)
    .

    3°. Determinare il quarto in cui si trova il punto, ottenuto ruotando il punto P (1; 0) di un angolo:

    a) 1; b) 2.75; c) 3.16; d) 4.95.

    4*. Sulla circonferenza unitaria, costruire un punto ottenuto ruotando il punto P (1; 0) di un angolo:

    un)
    ; b)
    ; c) 4,5π; d) - 7π.

    5*. Trova le coordinate del punto ottenute ruotando il punto P (1; 0) di un angolo (k è un numero intero):

    un)
    ; b)
    ; in)
    ; G)
    .

    6*. Annota tutti gli angoli di cui devi ruotare il punto P (1; 0) per ottenere un punto con le coordinate:

    un)
    ; b)
    ;

    in)
    ; G)
    .

    DEFINIZIONE DI SENSO, COSINO DI ANGOLO

    Fig.12

    In queste definizioni, l'angolo α può essere espresso sia in gradi che in radianti. Ad esempio, quando si ruota il punto (1; 0) dell'angolo, ad es. l'angolo è 90°, si ottiene il punto (0;1). Ordinata del punto ( 0 ;1 ) è uguale a 1 , quindi sin = sin 90° = 1; l'ascissa di questo punto è uguale a 0 , quindi cos = cos 90° = 0

    Compito #1

    Trova sin (- π) e cos (- π).

    Decisione:

    Il punto (1; 0) quando si gira attraverso l'angolo - π andrà al punto (-1; 0) (Fig. 13), quindi sin (- π) \u003d 0, cos (- π) \u003d - 1.

    Fig.13

    Compito #2

    Risolvi l'equazione sin x = 0.

    Decisione:

    Risolvere l'equazione sin x \u003d 0 significa trovare tutti gli angoli il cui seno zero. Un'ordinata uguale a zero ha due punti della circonferenza unitaria (1; 0 )e (- 1; 0 ). Questi punti si ottengono dal punto (1;0) ruotando per gli angoli 0, π, 2π, 3π, ecc., nonché per gli angoli - π, - 2π, - 3π, ecc., quindi sin x = 0 per x = πk., dove k è un qualsiasi intero cioè la soluzione può essere fatta in questo modo:

    x = πk., k
    .

    Risposta: x = πk., k

    (Z è la notazione per l'insieme di interi, leggi "k appartiene a Z").

    Discutendo in modo simile, possiamo ottenere le seguenti soluzioni di equazioni trigonometriche:

    peccatoX

    x = + 2πk, k

    x = - +2πk., k

    x = +2πk., k

    x = 2πk., k

    x = π + 2 πk., k

    Ecco una tabella di valori comuni per seno, coseno, tangente e cotangente.

    Compito #1

    Calcola: 4peccato +
    cost-tg.

    Decisione:

    Usando la tabella, otteniamo

    4 sin + cos - tg = 4 ٠ + ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

    :

    1°. Calcolare:

    a) peccato + peccato; b) peccato - cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos .

    2°. Trova il valore di un'espressione:

    a) 3 sin + 2 cos - tg; b)
    ;

    in)
    ; d) cos 0 - sin 3π.

    3°. Risolvi l'equazione:

    a) 2 peccato x = 0; b) cos x = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – peccato x = 0.

    4*. Trova il valore di un'espressione:

    a) 2 peccato α +
    cos α a α = ; b) 0,5 cos α - sin α ad α = 60°;

    c) sin 3 α - cos 2 α a α = ; d) cos + peccato A α = .

    5*. Risolvi l'equazione:

    a) sinx \u003d - 1; b) cos x = 0; c) peccato
    ; d) sin3 x = 0.

    Segni di seno, coseno e tangente

    Lascia che il punto si muova in senso antiorario lungo il cerchio unitario, quindi seno positivo in primo e secondo coordinare i quarti (Fig. 14); coseno positivo in primo e quarto coordinare i quarti (Fig. 15); tangente e cotangente positivo in primo e terzo coordinare i quarti (Fig. 16).

    Fig.14 Fig.15 Fig.16

    Compito #1

    Scopri i segni del seno, coseno e tangente di un angolo:

    1) ; 2) 745°; 3)
    .

    Decisione:

    1) Un angolo corrisponde a un punto della circonferenza unitaria che si trova in secondo quarti. Quindi sin > 0, cos

    2) Poiché 745° = 2 ٠360° + 25° , allora la rotazione del punto (1; 0) di un angolo di 745° corrisponde ad un punto situato in primo quarti.

    Quindi sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

    3) Il punto si sposta in senso orario, quindi - π , quindi ruotando il punto (1; 0) di un angolo si ottiene un punto Terzo quarti. Quindi peccato

    Esercizi per l'autorisoluzione :

    1°. In quale quarto è il punto ottenuto ruotando il punto P (1; 0) per l'angolo α, Se:

    un) α = ; b) α = - ; in) α = ;Documento

    La sua decisione. Controllo Lavoro deve essere firmato dallo studente. compensare su controllo lavoro esposto secondo i risultati... su uno dei sei identici carte. Carte disposti in fila in ordine casuale. Che cosa...

  • Schede di prova; carte di credito; g) schede attività di livello superiore (attività di attività di testo con un parametro). Conclusione

    Prove

    Orale lavoro. carte- simulatori; carte per dettatura matematica; carte-prove; carte per compensare; g) carte... controllo, generalizzazione, carattere di ricerca, controllo lavoro e compensazioni. I materiali tengono conto di due livelli di profondità...

  • Il lavoro indipendente, essendo il mezzo di istruzione più importante, dovrebbe essere basato sull'organizzazione scientifica del lavoro mentale, che richiede il rispetto delle seguenti disposizioni

    promemoria

    Classificazione) del libro in studio. Carte puoi usare standard o ... studenti che hanno superato tutti compensazioni e/o controllo lavoro previsto curriculum, ... libro dei voti o copia dello studio carte studente, ma alla domanda di reintegrazione...

  • Linee guida per lo studio della disciplina e l'esecuzione delle prove per gli studenti dei corsi per corrispondenza Tutte le specialità

    Linee guida

    A controllo lavoro. 3. Linee guida per l'attuazione controllo lavoro Controllo Lavoroè un passo importante nella preparazione per la consegna. compensare di ... nella tabella 2 - circa tre divisioni. Crea modulo " Carta Contabilità" per inserire i dati nella tabella...