Корень n -й степени и его основные свойства
Степень действительного числа а с натуральным показателем п есть произведение п сомножителей, каждый из которых равен а:
а1 = а; а2 =а· а; а n =
Например,
25 = 2 2 2 2 2 = 32,
5 раз
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.
4 раза
Действительное число а называют основанием степени, а натуральное число n - показателем степени.
Непосредственно из определения следуют основные свойства степеней с натуральными показателями: степень положительного числа с любым п е N положительна; степень отрицательного числа с четным показателем положительна, с нечетным - отрицательна.
Например,
(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.
Действия со степенями производятся по следующим правилам.
1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть
Например, p5∙ p3 = p5+3 =p8
2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть
https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">
2. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели степеней, оставив основание прежним, то есть
(ап) m = ат·п. Например, (23)2 = 26.
4. Чтобы возвести в степень произведение, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить, то есть
(а b )п = ап ∙ b п .
Например, (2у3)2 = 4y6.
5. Чтобы взвести в степень дробь, достаточно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, то есть
https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">
Отметим, что указанные формулы иногда бывает полезно читать справа налево. В этом случае они становятся правилами. Например, в случае 4, апвп = (ав)п получаем следующее правило: чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, оставив показатель прежним.
Использование этого правила эффективно, например, при вычислении следующего произведения
(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=(= 1.
Приведем теперь определение корня.
Корнем n-й степени из действительного числа а называется действительное число х, n-я степень которого равна а.
Очевидно, что в соответствии с основными свойствами степеней с натуральными показателями, из любого положительного числа существует два противоположных значения корня четной степени, например, числа 4 и -4 являются корнями квадратными из 16, так как (-4)2 = 42 = 16, а числа 3 и -3 являются корнями четвертой степени из 81, так как (-3)4 = З4 = 81.
Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку четная степень любого действительного числа неотрицательна . Что же касается корня нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один корень нечетной степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а -2 есть корень пятой степени из -32, так как (-2)5 = 32.
В связи с существованием двух корней четной степени из положительного числа, введем понятие арифметического корня, чтобы устранить эту двузначность корня.
Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрицательного числа называется арифметическим корнем.
Например, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.
Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений их корни всегда рассматривают как арифметические.
Отметим основное свойство корня n-й степени.
Величина корня не изменится, если показатели корня и степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то есть
Пример 7. Привести к общему знаменателю и
Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.
Навигация по странице.
Вспомним свойства корней
Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.
Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):
А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):
Преобразование выражений с числами под знаками корней
По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.
Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.
Приведем еще несколько примеров.
Упростим выражение 
. Числа 3
, 5
и 7
положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3
- как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:
Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:
Возможны и другие варианты решения, например, такой:
Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a
. Имеем:
Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием 
а уже дальше применять свойства корней
До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.
Пример.
Преобразуйте иррациональное выражение 
.
Решение.
По свойству 
первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2
:
Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81
не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3
:
Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: 
. Имеем
Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.
Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12
, и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем
Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:
Оформим краткий вариант решения:
Ответ:
.
Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.
Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a
– отрицательное число (при этом a
– положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2
и −3
– отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: 
. А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так 
.
Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо
- выбрать подходящее свойство из списка,
- убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
- и провести задуманное преобразование.
Преобразование выражений с переменными под знаками корней
Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .
Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2
. Если сразу подставить вместо переменной x
число −2
, то получим нужное нам значение 
. А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x
число −2
и приходим к выражению 
, которое не имеет смысла.
Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪∪}