В областта на степенната функция y = x p са валидни следните формули:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Свойства на степенните функции и техните графики
Степенна функция с показател, равен на нула, p = 0
Ако показателят на степенната функция y = x p е равен на нула, p = 0, тогава степенната функция е дефинирана за всички x ≠ 0 и е постоянна, равна на едно:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.
Степенна функция с естествен нечетен показател, p = n = 1, 3, 5, ...
Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен нечетен показател n = 1, 3, 5, ... . Такъв индикатор може да се запише и като: n = 2k + 1, където k = 0, 1, 2, 3, ... е неотрицателно цяло число. По-долу са свойствата и графиките на такива функции.
Графика на степенна функция y = x n с естествен нечетен показател за различни стойности на показателя n = 1, 3, 5, ... .
Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0
выпукла вверх
на 0< x < ∞
выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
при x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 1 функцията е обратна на себе си: x = y
за n ≠ 1, обратната функция е корен от степен n:
Степенна функция с естествен четен показател, p = n = 2, 4, 6, ...
Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с естествен четен показател n = 2, 4, 6, ... . Такъв показател може да се запише и като: n = 2k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число. Свойствата и графиките на такива функции са дадени по-долу.
Графика на степенна функция y = x n с естествен четен показател за различни стойности на показателя n = 2, 4, 6, ... .
Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
за x ≤ 0 монотонно намалява
за x ≥ 0 нараства монотонно
Крайности:минимум, x=0, y=0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
за x = 0, y(0) = 0 n = 0
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = 2, квадратен корен:
за n ≠ 2, корен от степен n:
Степенна функция с цяло число отрицателен показател, p = n = -1, -2, -3, ...
Да разгледаме степенна функция y = x p = x n с отрицателен показател цяло число n = -1, -2, -3, ... . Ако поставим n = -k, където k = 1, 2, 3, ... е естествено число, то може да бъде представено като:
Графика на степенна функция y = x n с отрицателен показател цяло число за различни стойности на показателя n = -1, -2, -3, ... .
Нечетен показател, n = -1, -3, -5, ...
По-долу са свойствата на функцията y = x n с нечетен отрицателен показател n = -1, -3, -5, ... .
Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0
:
выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -1,
за n< -2
,
Четен показател, n = -2, -4, -6, ...
По-долу са свойствата на функцията y = x n с четен отрицателен показател n = -2, -4, -6, ... .
Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0
:
монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
за n = -2,
за n< -2
,
Степенна функция с рационален (дробен) показател
Да разгледаме степенна функция y = x p с рационален (дробен) показател, където n е цяло число, m > 1 е естествено число. Освен това n, m нямат общи делители.
Знаменателят на дробния показател е нечетен
Нека знаменателят на дробния показател е нечетен: m = 3, 5, 7, ... . В този случай степенната функция x p е дефинирана както за положителни, така и за отрицателни x стойности. Разгледайте свойствата на такива степенни функции, когато показателят p е в определени граници.
p е отрицателно, p< 0
Нека рационалният показател (с нечетен знаменател m = 3, 5, 7, ...) е по-малък от нула: .
Графики на експоненциални функции с рационален отрицателен показател за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е странно.
Нечетен числител, n = -1, -3, -5, ...
Ето свойствата на степенната функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -1, -3, -5, ... е нечетно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.
Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y ≠ 0
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:намалява монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0
:
выпукла вверх
за x > 0 : изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
Четен числител, n = -2, -4, -6, ...
Свойства на степенна функция y = x p с рационален отрицателен показател, където n = -2, -4, -6, ... е четно отрицателно цяло число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число .
Домейн: x ≠ 0
Множество стойности: y > 0
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0
:
монотонно возрастает
за x > 0 : монотонно намаляващ
Крайности:Не
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Знак: y > 0
Ограничения:
; ; ;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
за x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратна функция:
P-стойността е положителна, по-малка от едно, 0< p < 1
Графика на степенна функция с рационален показател (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетен числител, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: -∞ < y < +∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при х< 0
:
выпукла вниз
за x > 0 : изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:
при х< 0, y < 0
за x > 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:
Четен числител, n = 2, 4, 6, ...
Представени са свойствата на степенната функция y = x p с рационален показател, намиращ се в рамките на 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Домейн: -∞ < x < +∞
Множество стойности: 0 ≤ y< +∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0
:
монотонно убывает
за x > 0 : монотонно нарастващ
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал нагоре при x ≠ 0
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Знак:за x ≠ 0, y > 0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:
Показателят p е по-голям от едно, p > 1
Графика на степенна функция с рационален показател (p > 1) за различни стойности на показателя, където m = 3, 5, 7, ... е нечетно.
Нечетен числител, n = 5, 7, 9, ...
Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 5, 7, 9, ... е нечетно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.
Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: -∞ < y < ∞
Паритет:нечетно, y(-x) = - y(x)
Монотонен:нараства монотонно
Крайности:Не
Изпъкнал:
при -∞< x < 0
выпукла вверх
на 0< x < ∞
выпукла вниз
Точки на прекъсване: x=0, y=0
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = -1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:
Четен числител, n = 4, 6, 8, ...
Свойства на степенна функция y = x p с рационален показател, по-голям от едно: . Където n = 4, 6, 8, ... е четно естествено число, m = 3, 5, 7 ... е нечетно естествено число.
Домейн: -∞ < x < ∞
Множество стойности: 0 ≤ y< ∞
Паритет:четен, y(-x) = y(x)
Монотонен:
при х< 0
монотонно убывает
за x > 0 монотонно нараства
Крайности:минимум при x = 0, y = 0
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
;
Частни стойности:
за x = -1, y(-1) = 1
за x = 0, y(0) = 0
за x = 1, y(1) = 1
Обратна функция:
Знаменателят на дробния показател е четен
Нека знаменателят на дробния показател е четен: m = 2, 4, 6, ... . В този случай степенната функция x p не е дефинирана за отрицателни стойности на аргумента. Свойствата му съвпадат с тези на степенна функция с ирационален показател (вижте следващия раздел).
Степенна функция с ирационален показател
Да разгледаме степенна функция y = x p с ирационален показател p . Свойствата на такива функции се различават от тези, разгледани по-горе, тъй като те не са дефинирани за отрицателни стойности на аргумента x. За положителни стойности на аргумента свойствата зависят само от стойността на експонента p и не зависят от това дали p е цяло число, рационално или ирационално.
y = x p за различни стойности на експонента p .
Степенна функция с отрицателно p< 0
Домейн: x > 0
Множество стойности: y > 0
Монотонен:намалява монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси:Не
Ограничения: ;
частна стойност:За x = 1, y(1) = 1 p = 1
Степенна функция с положителен показател p > 0
Индикаторът е по-малък от една 0< p < 1
Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал нагоре
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1
Индикаторът е по-голям от едно p > 1
Домейн: x ≥ 0
Множество стойности: y ≥ 0
Монотонен:нараства монотонно
Изпъкнал:изпъкнал надолу
Точки на прекъсване:Не
Пресечни точки с координатни оси: x=0, y=0
Ограничения:
Частни стойности:За x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
За x = 1, y(1) = 1 p = 1
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.
1. Дробно-линейна функция и нейната графика
Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.
Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. по същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.
Ако една дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция за преглед
y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.
Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е константа). Дробно-линейната функция е дефинирана за всички реални числа, с изключение на x = -d/c. Графиките на дробно-линейни функции не се различават по форма от познатата ви графика y = 1/x. Кривата, която е графиката на функцията y = 1/x, се нарича хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се приближават към абсцисната ос: десният се приближава отгоре, а левият се приближава отдолу. Правите, до които се приближават клоновете на хипербола, се наричат нейни асимптоти.
Пример 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Решение.
Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy със 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.
Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по същия начин, като се подчертае „цялата част“. Следователно графиките на всички дробно-линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.
За да се начертае графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се преобразува дробта, която определя тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим линиите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.
Пример 2
Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функцията не е дефинирана, когато x = -1. Следователно правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.
За да направите това, разделяме числителя и знаменателя на дробта на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
При x → ∞ дробта клони към 3/2. Следователно хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.
Пример 3
Начертайте функцията y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Избираме „цялата част“ на фракцията:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване от 2 единични интервала нагоре по оста Oy.
Област на дефиниция D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията расте на всеки от интервалите на дефиниционната област.
Отговор: фигура 1.
2. Дробно-рационална функция
Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.
Примери за такива рационални функции:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ако функцията y = P(x) / Q(x) е частно от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се изгради точно , с всички подробности. Въпреки това, често е достатъчно да се прилагат техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.
Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.
График на дробни рационални функции
Обмислете няколко начина за начертаване на дробно-рационална функция.
Пример 4
Начертайте функцията y = 1/x 2 .
Решение.
Използваме графиката на функцията y \u003d x 2, за да начертаем графиката y \u003d 1 / x 2 и използваме метода на "разделяне" на графиките.
Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).
Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.
Отговор: фигура 2.
Пример 5
Начертайте функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Решение.
Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Тук използвахме техниката на факторизиране, редукция и редукция до линейна функция.
Отговор: фигура 3.
Пример 6
Начертайте функцията y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Решение.
Областта на дефиниция е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста y. Преди да начертаем, ние отново трансформираме израза, като маркираме целочислената част:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Имайте предвид, че изборът на целочислената част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изчертаване на графики.
Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. линията y = 1 е хоризонтална асимптота.
Отговор: фигура 4.
Пример 7
Разгледайте функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитайте да намерите точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно е, че нашата крива не може да се "изкачи" много високо, тъй като знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Това уравнение няма реални корени. Така че нашето предположение е погрешно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете за кое най-голямо A уравнението A \u003d x / (x 2 + 1) ще има решение. Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A \u003d 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A \u003d 1/2. 
Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.
Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да изграждате функционални графики?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!
сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.
Изградете функция
Предлагаме на Вашето внимание услуга за построяване на функционални графики онлайн, всички права върху която принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или с помощта на виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца на диаграмата, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.
Предимства на онлайн графики
- Визуално показване на въведените функции
- Изграждане на много сложни графики
- Изграждане на неявно дефинирани графики (напр. елипса x^2/9+y^2/16=1)
- Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
- Контрол на мащаба, цвят на линията
- Способността да се изграждат графики по точки, използването на константи
- Построяване на няколко графики на функции едновременно
- График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))
С нас е лесно да изграждате графики с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за показване на графики за по-нататъшното им прехвърляне в документ на Word като илюстрации за решаване на проблеми, за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Най-добрият браузър за работа с диаграми на тази страница на сайта е Google Chrome. При използване на други браузъри правилната работа не е гарантирана.