Непрекъснато произволна стойност X има равномерно разпределение на сегмента [a, b], ако плътността на разпределението е постоянна на този сегмент и е равна на 0 извън него.
Равномерната крива на разпределение е показана на фиг. 3.13.
Ориз. 3.13.
Стойности/ (Х)в екстремни точки аи бпарцел (а, б)не са посочени, тъй като вероятността да се постигне някоя от тези точки за непрекъсната случайна променлива хравно на 0.
Математическо очакване на случайна променлива х,който има равномерно разпределение върху сечението [a, d], / « = (a + б)/2.Дисперсията се изчислява по формулата D =(b-а) 2/12, следователно st = (б -а) / 3,464.
Моделиране на случайни величини.За моделиране на произволна променлива е необходимо да се знае нейния закон на разпределение. Най-разпространеният начин за получаване на поредица от произволни числа, разпределени по произволен закон, е методът, базиран на тяхното формиране от оригиналната последователност от случайни числа, разпределени в интервала (0; 1) по единен закон.
равномерно разпределенв интервала (0; 1) поредици от произволни числа могат да бъдат получени по три начина:
- по специално изготвени таблици на произволни числа;
- използване на физически генератори на случайни числа (например хвърляне на монета);
- алгоритмичен метод.
За такива числа стойността на математическото очакване трябва да бъде равна на 0,5, а дисперсията трябва да бъде 1/12. Ако е необходимо, произволното число хбеше в интервала ( а; б)различно от (0; 1), трябва да използвате формулата X \u003d a + (b - a) g,където г- произволно число от интервала (0; 1).
Поради факта, че почти всички модели са внедрени на компютър, почти винаги се използва вграден в компютъра алгоритмичен генератор (RNG) за получаване на произволни числа, въпреки че не е проблем да се използват таблици, които преди това са били преобразувани в електронна форма . Трябва да се има предвид, че чрез алгоритмичния метод винаги получаваме псевдослучайни числа, тъй като всяко следващо генерирано число зависи от предишното.
На практика винаги е необходимо да се получи произволни числа, разпределени според даден закон за разпределение.За това се използват различни методи. Ако аналитичният израз за закона за разпределението е известен F,тогава можете да използвате метод на обратна функция.
Достатъчно е да се изиграе произволно число, равномерно разпределено в интервала от 0 до 1. Тъй като функцията Фсъщо варира в този интервал, а след това произволното число хможе да се определи чрез вземане обратна функцияграфично или аналитично: x=F"(г). Ето г- числото, генерирано от RNG в диапазона от 0 до 1; x tе получената случайна променлива. Графично същността на метода е показана на фиг. 3.14.
Ориз. 3.14. Илюстрация на метода на обратната функция за генериране на случайни събития х, чиито стойности се разпределят непрекъснато. Фигурата показва графики на плътността на вероятността и интегралната плътност на вероятността от х
Да разгледаме, като пример, закона за експоненциалното разпределение. Функцията на разпределение на този закон има формата F(x) = 1 -exp(-bz). Като ги Фв този методсе приема, че са сходни и се намират в един и същи интервал, след това чрез замяна Фза произволно число r имаме г= 1 - exp(-bz). Изразяване на желаната стойност хот този израз (т.е. чрез обръщане на функцията exp()) получаваме x = -/X? 1p (1 -G).Тъй като в статистически смисъл (1 - d) и G -тогава е същото x \u003d -YX 1p(r).
Алгоритмите за моделиране на някои общи закони на разпределение на непрекъснати случайни величини са дадени в табл. 3.10.
Например, необходимо е да се симулира времето за зареждане, което се разпределя по нормалния закон. Известно е, че средната продължителност на зареждане е 35 минути, а стандартното отклонение на реалното време от средната стойност е 10 минути. Тоест според условията на задачата t x = 35, с х= 10. Тогава стойността на произволната променлива ще бъде изчислена по формулата Р= ?g, къде Г. -произволни числа от RNG в диапазона, n = 12. Числото 12 се избира като достатъчно голямо въз основа на централната пределна теорема на теорията на вероятностите (теоремата на Ляпунов): „За голямо число нслучайни променливи хс всеки закон за разпределение тяхната сума е произволно число с нормален закон за разпределение. След това произволната стойност х\u003d o (7? - l / 2) + t x = 10(7? -3) + 35.
Таблица 3.10
Алгоритми за моделиране на случайни променливи
Симулация на случайно събитие.Случайно събитие предполага, че някое събитие има няколко резултата и кой от резултатите ще се повтори се определя само от неговата вероятност. Тоест резултатът се избира на случаен принцип, като се отчита неговата вероятност. Например, да предположим, че знаем вероятността да произведем дефектни продукти Р= 0,1. Можете да симулирате възникването на това събитие, като пуснете равномерно разпределено произволно число от диапазона от 0 до 1 и установите кой от двата интервала (от 0 до 0,1 или от 0,1 до 1) е паднал (фиг. 3.15). Ако числото попада в диапазона (0; 0,1), тогава е издаден дефект, т.е. събитието е настъпило, в противен случай събитието не е настъпило (произведен е кондициониран продукт). При значителен брой експерименти честотата на числата, попадащи в интервала от 0 до 0,1, ще се доближи до вероятността P= 0,1, а честотата на удряне на числа в интервала от 0,1 до 1 ще се доближи до P. = 0,9.
Ориз. 3.15.
Събитията се наричат несъвместими, ако вероятността за настъпване на тези събития едновременно е равна на 0. От това следва, че общата вероятност на групата несъвместими събитияравно на 1. Означете с а раз, a nсъбития и чрез Р ]9 Р 2 , ..., R стр- вероятността за настъпване на отделни събития. Тъй като събитията са несъвместими, сумата от вероятностите за тяхното възникване е равна на 1: P x + P 2 + ... +Pn= 1. Отново използваме генератор на произволни числа, за да симулираме настъпването на едно от събитията, чиято стойност също винаги е в диапазона от 0 до 1. Нека отделим сегменти на единичния интервал P r P v ..., R стр.Ясно е, че сумата от сегментите ще бъде точно единичен интервал. Точката, съответстваща на изпуснато число от генератора на произволни числа на този интервал, ще сочи към един от сегментите. Съответно, произволните числа ще попадат в големи сегменти по-често (вероятността за възникване на тези събития е по-голяма!), В по-малки сегменти - по-рядко (фиг. 3.16).
Ако е необходимо, симулация съвместни събитияте трябва да бъдат направени несъвместими. Например, за да се симулира настъпването на събития, за които са дадени вероятностите R(a() = 0,7; P(a 2)= 0,5 и P(a ]9 a 2)= 0,4, ние дефинираме всички възможни несъвместими резултати от настъпването на събития а г а 2и едновременното им появяване:
- 1. Едновременно възникване на две събития P(b () = P(a L , а 2) = 0,4.
- 2. Възникване на събитието a ] P (b 2) \u003d P (a y) - P (a ( , а 2) = 0,7 - 0,4 = 0,3.
- 3. Възникване на събитието a 2 P(b 3) = P (a 2) - P (a g a 2) \u003d 0,5 - 0,4 = 0,1.
- 4. Неявяване на някакво събитие P(b 4) = 1 - (P(b) + P(b 2) + + P(b 3)) =0,2.
Сега вероятностите за възникване на несъвместими събития бтрябва да бъдат представени на цифровата ос като сегменти. Получавайки числа с помощта на RNG, ние определяме принадлежността им към определен интервал и получаваме изпълнението на съвместни събития а.
Ориз. 3.16.
Често срещан на практика системи от случайни величини, тоест такива две (или повече) различни случайни променливи х, В(и други), които зависят един от друг. Например, ако се случи събитие хи взе някаква произволна стойност, след това събитието Все случва, макар и случайно, но като се вземе предвид фактът, че хвече придоби някаква стойност.
Например, ако като хголям брой изпадна, тогава като Втрябва да изпадне и достатъчно голям брой (ако корелацията е положителна и обратно, ако е отрицателна). В транспорта подобни зависимости са доста често срещани. По-дълги закъснения са по-вероятни при по-дълги маршрути и т.н.
Ако случайните променливи са зависими, тогава
f(x)=f(x l)f(x 2 x l)f(x 3 x 2 ,x l)- ... -/(xjx, r X„ , ...,x 2 ,x t),където х. | x._ v x (- произволен зависими количества: напускам Х.при условие, че са паднали x._ (9 x._ ( ,...,*,) - условна плътност
вероятност за възникване x.>ако отпадне x._ (9 ..., х (; е(x) - вероятността за изпадане от вектора x на случайно зависими променливи.
Коефициент на корелация qпоказва колко тясно свързани са събитията Хей У.Ако коефициентът на корелация е равен на единица, тогава зависимостта на събитията хи ууедно към едно: една стойност хсъвпада с една стойност В(фиг. 3.17, а) .В qблизо до единица, картината, показана на фиг. 3.17, b, т.е. една стойност хможе вече да съответства на няколко стойности на Y (по-точно една от няколкото стойности на Y, определени на случаен принцип); т.е. в този случай хи Йпо-малко корелирани, по-малко зависими един от друг.
Ориз. 3.17. Тип зависимост на две случайни променливи с положителен коефициент на корелация: а- при q = 1; б -при 0 q при q,близо до О
И накрая, когато коефициентът на корелация клони към нула, възниква ситуация, при която всяка стойност хможе да съответства на всяка стойност на Y, т.е. събития хи Йне зависят или почти не зависят един от друг, не корелират помежду си (фиг. 3.17, в).
Например, да вземем нормална дистрибуциякато най-често срещаните. Математическото очакване показва най-вероятните събития, тук броят на събитията е по-голям и графикът на събитията е по-плътен. Положителната корелация показва, че големи произволни променливи хпричина за генериране на големи Й.Нулева и близка до нула корелация показва, че стойността на произволната променлива хняма нищо общо с определена стойност на произволна променлива Й.Лесно е да разберем казаното, ако първо си представим разпределенията f(X)и / (Y) поотделно и след това ги свържете в система, както е показано на фиг. 3.18.
В този пример Хей Y се разпределят по нормалния закон със съответните стойности t x,а и че,а,. Даден е коефициентът на корелация на две случайни събития q, т.е. случайни променливи хи Y са зависими един от друг, Y не е съвсем случайно.
Тогава възможен алгоритъм за изпълнение на модела ще бъде както следва:
1. Възпроизвеждат се шест произволни числа, равномерно разпределени в интервала: b p б:, b i, b 4 , б 5, b 6 ; намерете тяхната сума С:
S = b.Открива се нормално разпределено произволно число n: следната формула: x = a (5 - 6) + t x.
- 2. По формулата m!x = че + qoJo x (x -m x)е математическото очакване t y1x(знак u/xозначава, че y ще приема произволни стойности, като се има предвид условието, че * вече е приел някои определени стойности).
- 3. По формулата = a d/l -C 2намерете стандартното отклонение a..
4. Възпроизвеждат се 12 произволни числа r, равномерно разпределени в интервала; намерете тяхната сума k:k= Zr. Намерете нормално разпределено произволно число впо следната формула: y = °Jk-6) + mr/x .
Ориз. 3.18.
Моделиране на потока на събитие. Когато има много събития и те следват едно друго, те се формират поток. Имайте предвид, че събитията в този случай трябва да бъдат хомогенни, т.е. подобни по някакъв начин. Например появата на шофьори на бензиностанции, които искат да заредят колата си. Тоест хомогенните събития образуват поредица. Предполага се, че статистическата характеристика на това 146
явления (интензивност на потока от събития). Интензитетът на потока от събития показва колко такива събития се случват средно за единица време. Но кога точно ще се случи всяко конкретно събитие, е необходимо да се определи чрез методи за моделиране. Важно е, че когато генерираме например 1000 събития за 200 часа, броят им ще бъде приблизително равен на средната интензивност на настъпване на събития 1000/200 = 5 събития на час. Това е статистическа стойност, която характеризира този поток като цяло.
Интензивността на потока в известен смисъл е математическото очакване на броя на събитията за единица време. Но в действителност може да се окаже, че в един час ще се появят 4 събития, а в друг - 6, въпреки че се получават средно 5 събития на час, така че една стойност не е достатъчна, за да характеризира потока. Втората стойност, която характеризира колко голямо разпространение на събитията спрямо математическото очакване е, както и преди, дисперсията. Именно тази стойност определя случайността на настъпване на събитие, слабата предвидимост на момента на неговото възникване.
Случайните потоци са:
- обикновен - вероятността за едновременно възникване на две или повече събития е нула;
- стационарна - честота на възникване на събития хпостоянен;
- без последващо действие - вероятността за възникване на случайно събитие не зависи от момента на предходните събития.
При моделирането на QS в по-голямата част от случаите се взема предвид Поасонов (най-прост) поток - обикновен поток без последващо въздействие,в която вероятността за пристигане във времевия интервал тгладка тизискванията са дадени по формулата на Поасон:
Поасоновият поток може да бъде стационарен, ако A.(/) = const(/), или нестационарен в противен случай.
В поток на Поасон вероятността да не настъпи събитие е
На фиг. 3.19 показва зависимостта Рот време. Очевидно, колкото по-дълго е времето за наблюдение, толкова по-малка е вероятността да не се случи никакво събитие. Освен това, колкото по-висока е стойността х,толкова по-стръмна е графиката, т.е., толкова по-бързо намалява вероятността. Това съответства на факта, че ако интензивността на възникване на събития е висока, тогава вероятността събитието да не се случи бързо намалява с времето на наблюдение.
Ориз. 3.19.
Вероятност за настъпване на поне едно събитие P = 1 - shr(-Ад), тъй като P + P = .Очевидно вероятността за настъпване на поне едно събитие клони към единство с времето, т.е. при подходящо дългосрочно наблюдение събитието непременно ще се случи рано или късно. По смисъла на Ре равно на r, следователно, изразяващо / от формулата на дефиницията R,накрая, за да определим интервалите между две случайни събития, имаме
където G-произволно число, равномерно разпределено от 0 до 1, което се получава с помощта на RNG; т- интервал между случайни събития (случайна променлива).
Като пример разгледайте потока от автомобили, пристигащи на терминала. Колите пристигат на случаен принцип - средно 8 на ден (скорост на потока х= 8/24 превозни средства/час). Трябва да се види 148
споделете този процес в т\u003d 100 часа. Среден интервал от време между колите / \u003d 1 / L. = 24/8 = 3 часа
На фиг. 3.20 показва резултата от симулацията - моментите във времето, когато колите са дошли до терминала. Както се вижда, само в периода T = 100 терминала обработени N=33кола. Ако стартираме симулацията отново, тогава нможе да бъде равно на, например, 34, 35 или 32. Но средно за Да сеалгоритъмът работи нще бъде равно на 33,333.
Ориз. 3.20.
Ако е известно, че потокът не е обикновентогава е необходимо да се моделира, освен момента на възникване на събитието, и броят на събитията, които биха могли да се появят в този момент. Например колите пристигат на терминала в произволно време (обикновен поток от автомобили). Но в същото време автомобилите могат да имат различно (случайно) количество товар. В този случай се казва, че потокът на товара е поток от необикновени събития.
Нека разгледаме проблема. Необходимо е да се определи времето на престой на товарното оборудване на терминала, ако контейнерите AUK-1.25 се доставят до терминала с камиони. Потокът от автомобили се подчинява на закона на Поасон, средният интервал между колите е 0,5 hD = 1/0,5 = 2 коли/час. Броят на контейнерите в колата варира според нормалния закон със средна стойност т= 6 и а = 2.В този случай минимумът може да бъде 2, а максимумът - 10 контейнера. Времето за разтоварване на един контейнер е 4 минути, а за технологични операции са необходими 6 минути. Алгоритъмът за решаване на този проблем, изграден на принципа на последователно публикуване на всяко приложение, е показан на фиг. 3.21.
След въвеждане на първоначалните данни, цикълът на симулация се стартира до достигане на определеното време за симулация. Използвайки RNG, получаваме произволно число, след което определяме интервала от време преди пристигането на колата. Отбелязваме получения интервал върху оста на времето и симулираме броя на контейнерите в тялото на пристигналия автомобил.
Проверяваме полученото число за приемлив интервал. След това времето за разтоварване се изчислява и сумира в брояча на общото време на работа на товарното оборудване. Проверява се условието: ако интервалът на пристигане на автомобила е по-голям от времето за разтоварване, тогава разликата между тях се обобщава в брояча на времето на празен ход на оборудването.
Ориз. 3.21.
Типичен пример за CMO би била точка на зареждане с множество постове, както е показано на фиг. 3.22.
Ориз. 3.22.
За яснота на процеса на моделиране ще изградим времева диаграма на QS операцията, отразяваща върху всяка линийка (временна ос /) състоянието на отделен елемент от системата (фиг. 3.23). Има толкова времеви линии, колкото има различни обекти в QS (потоци). В нашия пример има 7 от тях: потокът от заявки, потокът на чакане на първо място в опашката, потокът на чакане на второ място в опашката, потокът на услугата в първия канал, потокът на услугата във втория канал, потока от заявки, обслужвани от системата, потока от отказани заявки. За да демонстрираме процеса на отказ от обслужване, нека приемем, че само две коли могат да бъдат на опашката за товарене. Ако има повече от тях, тогава те се изпращат до друга точка за зареждане.
На първия ред се извеждат симулирани произволни моменти на получаване на заявления за поддръжка на автомобили. Първата заявка е приета и тъй като в момента каналите са свободни, тя се настройва за обслужване в първия канал. Приложение 1 прехвърлени към линията на първия канал. Времето за обслужване в канала също е произволно. На диаграмата намираме момента на приключване на услугата, като отлагаме генерираното време на услугата от момента на започване на услугата.
niya и пропуснете приложението за реда „Обслужено“. Приложението премина през CMO през целия път. Сега, според принципа на последователно публикуване на поръчки, е възможно и да се симулира пътя на втората поръчка.
Ориз. 3.23.
Ако в даден момент се окаже, че и двата канала са заети, тогава заявката трябва да бъде поставена в опашката. На фиг. 3.23 е приложение 3. Имайте предвид, че според условията на задачата, в опашката, за разлика от каналите, приложенията не са разположени произволно, а изчакайте, докато един от каналите стане свободен. След освобождаването на канала заявката се премества на линията на съответния канал и там се организира обслужването му.
Ако теглото на мястото в опашката в момента, когато пристигне следващото заявление е заето, тогава заявлението трябва да бъде изпратено до реда „Отказано“. На фиг. 3.23 е приложение 6.
Процедурата по имитация на връчване на заявления продължава известно време т. Колкото по-дълго е това време, толкова по-точни ще бъдат резултатите от симулацията в бъдеще. Истински за прости системиизбирам т, равно на 50-100 часа или повече, въпреки че понякога е по-добре да се измери тази стойност по броя на разглежданите приложения.
Ще анализираме QS, използвайки вече разгледания пример.
Първо трябва да изчакате стабилното състояние. Отхвърляме първите четири приложения като нехарактерни, възникващи по време на процеса на установяване на работата на системата („време за загряване на модела“). Измерваме времето за наблюдение, да кажем, че в нашия пример T = 5 часа Изчисляваме броя на обслужените заявки от диаграмата н o6c , време на престой и други стойности. В резултат на това можем да изчислим показатели, характеризиращи качеството на работата на QS:
- 1. Вероятност на услугата P = N, / N \u003d 5/7 = 0,714. За да се изчисли вероятността за обслужване на приложение в системата, достатъчно е да се раздели броя на приложенията, които са били обслужени през времето т(вижте реда „Обслужено“), L/o6s за брой заявки Н,който пристигна по същото време.
- 2. Пропускателна способност на системата A \u003d NJT h \u003d 7/5 = 1,4 авто / ч. За да се изчисли пропускателната способност на системата, е достатъчно да се раздели броят на обслужените заявки N o6cза малко Т,за които е извършена тази услуга.
- 3. Вероятност за неуспех P \u003d N / N \u003d 3/7 \u003d 0,43. За да се изчисли вероятността от отказ на обслужване на заявка, достатъчно е да се раздели броя на заявките нкоито бяха отказани за време т(вижте реда „Отхвърлени“), за броя на заявленията Н,който е искал да служи през същото време, т.е. е влязъл в системата. Моля, имайте предвид, че сумата R op + R p (kна теория трябва да е равно на 1. Всъщност експериментално се оказа, че R + R.= 0,714 + 0,43 = 1,144. Тази неточност се обяснява с факта, че по време на наблюдението тне са събрани достатъчно статистически данни, за да се получи точен отговор. Грешката на този индикатор вече е 14%.
- 4. Вероятност един канал да е зает P = T r JT H= 0,05/5 = 0,01, където т- време на заетост само на един канал (първи или втори). Измерванията са обект на интервали от време, в които се случват определени събития. Например на диаграмата такива сегменти се търсят, когато първият или вторият канал е зает. В този пример има един такъв сегмент в края на диаграмата с дължина 0,05 часа.
- 5. Вероятност два канала да са заети P = T / T = 4,95/5 = 0,99. На диаграмата се търсят такива сегменти, по време на които първият и вторият канал са заети едновременно. В този пример има четири такива сегмента, тяхната сума е 4,95 часа.
- 6. Среден брой заети канали: /V до - 0 P 0 + P X + 2 P, \u003d \u003d 0,01 +2? 0,99 = 1,99. За да се изчисли средно колко канала са заети в системата, достатъчно е да се знае делът (вероятност за заетост на един канал) и да се умножи по теглото на този дял (един канал), да се знае делът (вероятност за заетост на два канали) и умножете по теглото на този дял (два канала) и т.н. Получената цифра от 1,99 показва, че от двата възможни канала се зареждат средно 1,99 канала. Това е висока степен на използване от 99,5%, системата използва добре ресурсите.
- 7. Вероятността за престой на поне един канал Р*, = Г е проста, /Г = = 0,05/5 = 0,01.
- 8. Вероятност за прекъсване на два канала едновременно: P = = T JT = 0.
- 9. Вероятност за престой на цялата система P * \u003d T / T \u003d 0.
- 10. Средният брой заявления в опашката / V s = 0 P(h + 1 Р и + 2Р b= = 0,34 + 2 0,64 = 1,62 авт. За да се определи средният брой заявки в опашката, е необходимо да се определи отделно вероятността да има една заявка P в опашката, вероятността да има две заявки P 23 в опашката и т.н., и да се добави отново със съответните тежести.
- 11. Вероятността да има едно приложение в опашката, P и = = TJTn= 1,7 / 5 = 0,34 (в диаграмата има четири такива сегмента, общо 1,7 часа).
- 12. Вероятността две приложения да бъдат на опашката едновременно, R б\u003d Г 2з / Г \u003d 3,2 / 5 \u003d 0,64 (има три такива сегмента на диаграмата, общо 3,25 часа).
- 13. Средното време на изчакване за приложение в опашката е Tro = 1,7/4 = = 0,425 ч. Необходимо е да се сумират всички времеви интервали, през които всяко приложение е било на опашката, и да се разделят на броя на заявленията. На времевата линия има 4 такива искания.
- 14. Средно време за обслужване на приложение 7' srobsl = 8/5 = 1,6 часа. Съберете всички времеви интервали, през които всяко приложение е било обслужено в който и да е канал, и разделете на броя на приложенията.
- 15. Средно време, прекарано от приложение в системата: т = т +
y y ср изпята сватба. о
Ако точността не е задоволителна, тогава трябва да увеличите времето на експеримента и по този начин да подобрите статистиката. Можете да го направите по различен начин, ако стартирате експеримент 154 няколко пъти
за малко ти след това осреднете стойностите на тези експерименти и след това отново проверете резултатите за критерия за точност. Тази процедура трябва да се повтаря, докато се постигне желаната точност.
Анализ на резултатите от симулацията
Таблица 3.11
|
Индикатор |
смисъл индикатор |
Интереси на собственика на CMO |
Клиентски интереси |
|
Вероятност обслужване |
Вероятността за обслужване е ниска, много клиенти напускат системата без услуга. Препоръка: увеличете вероятността за обслужване |
Възможността за обслужване е ниска, всеки трети клиент иска да бъде обслужен, но не може да бъде обслужен Препоръка: увеличете вероятността за обслужване |
|
|
Среден брой заявления в опашката |
Колата почти винаги е на опашка преди да бъде обслужена.Препоръка: увеличете броя на местата на опашката, увеличете капацитета |
||
|
Увеличете пропускателната способност Увеличете броя на местата в опашката, за да не загубите потенциални клиенти |
Клиентите се интересуват от значително увеличение на пропускателната способност, за да намалят латентността и да намалят отказите |
За да се вземе решение за изпълнението на конкретни дейности, е необходимо да се извърши анализ на чувствителността на модела. Цел анализ на чувствителността на моделае да се определят възможните отклонения на изходните характеристики поради промени във входните параметри.
Методите за оценка на чувствителността на симулационния модел са подобни на методите за определяне на чувствителността на всяка система. Ако изходната характеристика на модела Рзависи от параметрите, свързани с променливите Р =/(p g p 2, p),тогава тези промени
параметри D r.(/ = 1, ..ж)предизвика промяна AR.
В този случай анализът на чувствителността на модела се свежда до изследване на функцията на чувствителността DR/други
Като пример за анализ на чувствителността на симулационен модел, нека разгледаме ефекта от промяната на променливите параметри на надеждността на превозното средство върху оперативната ефективност. Като целева функция използваме индикатора за намалени разходи З ir. За анализ на чувствителността използваме данни за работата на пътния влак КамАЗ-5410 в градски условия. Граници на промяна на параметрите Р.за да се определи чувствителността на модела, е достатъчно да се определи чрез експертни средства (Таблица 3.12).
За извършване на изчисления според модела е избрана базова точка, при която променливите параметри имат стойности, които съответстват на стандартите. Опция за продължителност на празен ход на изпълнение Поддръжкаа ремонтът в дни се заменя с конкретен индикатор - престой в дни на хиляда километра Н.
Резултатите от изчисленията са показани на фиг. 3.24. Основната точка е в пресечната точка на всички криви. Показани на фиг. 3.24 зависимости ви позволяват да установите степента на влияние на всеки от разглежданите параметри върху големината на промяната Z pr. В същото време използването на естествени стойности на анализираните величини не ви позволява да установите сравнителната степен на влияние на всеки параметър върху 3, тъй като тези параметри имат различни мерни единици. За да преодолеем това, ние избираме формата на интерпретация на резултатите от изчисленията в относителни единици. За да направите това, базовата точка трябва да бъде преместена в началото на координатите, а стойностите на променливите параметри и относителната промяна в изходните характеристики на модела трябва да бъдат изразени като процент. Резултатите от извършените трансформации са представени на фиг. 3.25.
Таблица 3.12
Стойности променливи параметри
Ориз. 3.24.
Ориз. 3.25. Влияние на относителната промяна на променливите параметри върху степента на промяна
Промяната в променливите параметри спрямо базовата стойност е представена на една ос. Както се вижда от фиг. 3.25, увеличаването на стойността на всеки параметър близо до базовата точка с 50% води до увеличаване на Z pr с 9% от растежа на Ts a, с повече от 1,5% от C p, с по-малко от 0,5% от Хи да намалее 3 с почти 4% от увеличението Л. Намаляване с 25 % b кри D rg води до увеличение на Z pr, съответно с повече от 6%. Намаляване със същия брой параметри H t0 , C tr и C a води до намаляване на C pr съответно с 0,2, 0,8 и 4,5%.
Дадените зависимости дават представа за влиянието на един параметър и могат да се използват при планиране на работата на транспортната система. Според интензивността на влияние върху Z pr, разглежданите параметри могат да бъдат подредени в следния ред: D, II, L, C 9 Н .
'a 7 k.r 7 t.r 7 t.o
По време на работа промяната в стойността на един индикатор води до промяна в стойностите на други индикатори, а относителната промяна на всеки от променливите параметри със същата стойност в общия случай има неравна стойност. физическа основа. Необходимо е да се замени относителната промяна в стойностите на променливите параметри като процент по абсцисата с параметър, който може да служи като единична мярка за оценка на степента на промяна във всеки параметър. Може да се приеме, че във всеки момент от работата на превозното средство стойността на всеки параметър има една и съща икономическа тежест спрямо стойностите на други променливи параметри, т.е. от икономическа гледна точка, надеждността на превозното средство при всеки момент от време има равновесен ефект върху всички параметри, свързани с него. Тогава необходимият икономически еквивалент ще бъде времето или, по-удобно, годината на експлоатация.
На фиг. 3.26 показва зависимости, изградени в съответствие с горните изисквания. За базова стойност на Z pr. Стойностите на променливите параметри за всяка година на експлоатация бяха определени въз основа на резултатите от наблюденията.
Ориз. 3.26.
В процеса на експлоатация увеличението на W pr през първите три години се дължи преди всичко на повишаване на стойностите Х jo , а след това, при разглежданите условия на работа, основната роля за намаляване на ефективността на използването на TS се играе от увеличаването на C tr За идентифициране на влиянието на стойността L Kp ,при изчисленията стойността му беше приравнена на общия пробег на превозното средство от началото на експлоатацията. Тип функция 3 =f(L) показва, че интензивността на намаляването на 3 с увеличаване
и т.н Дж v k.r" 7 np Дж
1 до p значително намалява.
В резултат на анализа на чувствителността на модела е възможно да се разбере кои фактори трябва да бъдат повлияни, за да се промени целевата функция. За промяна на факторите е необходимо да се прилагат контролни усилия, което е свързано със съответните разходи. Размерът на разходите не може да бъде безкраен, както всички ресурси, тези разходи в действителност са ограничени. Следователно е необходимо да се разбере до каква степен разпределението на средствата ще бъде ефективно. Ако в повечето случаи разходите нарастват линейно с увеличаване на контролното действие, тогава ефективността на системата нараства бързо само до определена граница, когато дори значителните разходи вече не дават същата възвръщаемост. Например, невъзможно е неограничено увеличаване на капацитета на сервизните устройства поради ограничения на пространството или потенциалния брой обслужвани автомобили и т.н.
Ако сравним увеличението на разходите и индикатора за ефективност на системата в едни и същи единици, тогава, като правило, той ще изглежда графично, както е показано на фиг. 3.27.
Ориз. 3.27.
От фиг. 3.27 може да се види, че при определяне на цена C, за разходна единица Z и цена C, за единица индикатор Ртези криви могат да се добавят. Кривите се сумират, ако трябва да бъдат минимизирани или максимизирани едновременно. Ако една крива трябва да се максимизира, а другата да се минимизира, тогава тяхната разлика трябва да се намери, например, по точки. Тогава получената крива (фиг. 3.28), която отчита както ефекта от управлението, така и разходите за това, ще има екстремум. Стойността на параметъра /?, който предоставя екстремума на функцията, е решението на задачата за синтез.
Ориз. 3.28.
до от.
Отвъд управлението Ри индикатор Рсистемите са нарушени. Смущение D= (d v d r...) е входно действие, което за разлика от контролния параметър не зависи от волята на собственика на системата (фиг. 3.29). Например ниските температури навън, конкуренцията, за съжаление, намаляват потока от клиенти; хардуерните повреди намаляват производителността на системата. Собственикът на системата не може да управлява тези стойности директно. Обикновено възмущението действа "въпреки" на собственика, намалявайки ефекта Рот усилията на ръководството Р.Това е така, защото в общия случай системата е създадена за постигане на цели, които сами по себе си са непостижими. Човек, организирайки система, винаги се надява да постигне някаква цел чрез нея. Р.Това влага той в усилията си. Р.В този контекст можем да кажем, че системата е организация от естествени компоненти, достъпни за човек, изучавани от него, за да постигне някаква нова цел, непостижима преди по други начини.
Ориз. 3.29.
Ако премахнем зависимостта на индикатора Рот ръководството Роще веднъж, но при условията на смущението D, тогава може би естеството на кривата ще се промени. Най-вероятно индикаторът ще бъде по-нисък за същите контролни стойности, тъй като смущението е отрицателно, което намалява производителността на системата. Една система, оставена сама на себе си, без усилията от управленски характер, престава да осигурява целта, за която е създадена. Ако, както преди, изградим зависимостта на разходите, съпоставим я със зависимостта на индикатора от контролния параметър, тогава намерената точка на екстремум ще се измести (фиг. 3.30) в сравнение със случая на „смущение = 0“ (виж фиг. 3.28). Ако смущението се увеличи отново, тогава кривите ще се променят и в резултат позицията на точката на екстремум отново ще се промени.
Графиката на фиг. 3.30 се отнася до индикатор P, управление (ресурс) Ри възмущение дв сложни системи, указващи как най-добре да се действа на мениджъра (организацията), който взема решението в системата. Ако контролното действие е по-малко от оптималното, тогава общият ефект ще намалее и ще възникне ситуация на пропусната печалба. Ако контролното действие е по-голямо от оптималното, тогава ефектът също ще намалее, тъй като се плаща за опашката
Всяко увеличение на усилията за контрол ще трябва да бъде по-голямо от това, което получавате в резултат на използването на системата.
Ориз. 3.30.
На компютър трябва да се реализира симулационен модел на системата за реална употреба. Това може да бъде създадено с помощта на следните инструменти:
- универсална потребителска програматип математически (MATLAB) или процесор за електронни таблици (Excel) или СУБД (Access, FoxPro), който ви позволява да създавате само относително прост модел и изисква поне първоначални умения за програмиране;
- универсален език за програмиране(C++, Java, Basic и др.), което ви позволява да създавате модел с всякаква сложност; но това е много отнемащ време процес, който изисква писане на голямо количество програмен код и продължително отстраняване на грешки;
- специализиран езиксимулационно моделиране, който има готови шаблонии инструменти за визуално програмиране, предназначени за бързо създаване на основата на модела. Един от най-известните е UML (Unified Modeling Language);
- симулационни програми,които са най-популярните средства за създаване на симулационни модели. Те ви позволяват да създавате модел визуално, само в най-трудните случаи, прибягвайки до ръчно писане на програмен код за процедури и функции.
Програмите за симулация са разделени на два вида:
- Универсални симулационни пакетиса предназначени за създаване на различни модели и съдържат набор от функции, които могат да се използват за симулиране на типични процеси в системи с различни цели. Популярни пакети от този тип са Arena (разработчик на Rockwell Automation 1", САЩ), Extendsim (разработчик на Imagine That Ink., САЩ), AnyLogic (разработчик на XJ Technologies, Русия) и много други. Почти всички универсални пакети имат специализирани версии за моделиране на конкретни обекти от класове.
- Специфични за домейна симулационни пакетислужат за моделиране на конкретни типове обекти и разполагат със специализирани инструменти за това под формата на шаблони, съветници за визуално проектиране на модел от готови модули и др.
- Разбира се, две случайни числа не могат еднозначно да зависят едно от друго, фиг. 3.17, а е даден за яснота на концепцията за корелация. 144
- Технически и икономически анализ при изследване на надеждността на КамАЗ-5410 / Ю. Г. Котиков, И. М. Блянкинщайн, А. Е. Горев, А. Н. Борисенко; ЛИСИ. Л.:, 1983. 12 с.-отп. в ЦБНТИ Минавтотранс РСФСР, № 135at-D83.
- http://www.rockwellautomation.com.
- http://www.cxtcndsiin.com.
- http://www.xjtek.com.
Като пример за непрекъсната случайна променлива, разгледайте случайна променлива X, равномерно разпределена в интервала (a; b). Казваме, че случайната променлива X равномерно разпределен на интервала (a; b), ако неговата плътност на разпределение не е постоянна на този интервал:
От условието за нормализиране определяме стойността на константата c . Площта под кривата на плътността на разпределението трябва да е равна на единица, но в нашия случай това е площта на правоъгълник с основа (b - α) и височина c (фиг. 1). 
Ориз. 1 Равномерна плътност на разпределение
От тук намираме стойността на константата c: 
И така, плътността на равномерно разпределена случайна променлива е равна на 
Нека сега намерим функцията на разпределение по формулата:
1) за 
2) за
3) за 0+1+0=1.
По този начин, 
Функцията на разпределение е непрекъсната и не намалява (фиг. 2). 
Ориз. 2 Функция на разпределение на равномерно разпределена случайна променлива
Да намерим математическо очакване на равномерно разпределена случайна величинапо формулата:
Дисперсия на равномерно разпределениесе изчислява по формулата и е равно на
Пример №1. Стойност на деление на мащаба измервателен уреде равно на 0,2. Показанията на инструмента се закръгляват до най-близкото цяло деление. Намерете вероятността да бъде допусната грешка по време на отчитането: а) по-малка от 0,04; б) голям 0,02
Решение. Грешката при закръгляването е случайна променлива, равномерно разпределена в интервала между съседни целочислени деления. Разгледайте интервала (0; 0.2) като такова деление (фиг. а). Закръгляването може да се извърши както към лявата граница - 0, така и към дясната - 0,2, което означава, че грешка, по-малка или равна на 0,04 може да се направи два пъти, което трябва да се вземе предвид при изчисляване на вероятността: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
За втория случай стойността на грешката може също да надвишава 0,02 на двете граници на разделение, тоест може да бъде по-голяма от 0,02 или по-малка от 0,18. 
Тогава вероятността от грешка като тази:
Пример №2. Предполага се, че стабилността на икономическата ситуация в страната (отсъствие на войни, природни бедствия и др.) през последните 50 години може да се съди по естеството на разпределението на населението по възраст: в спокойна ситуация, трябва да бъде униформа. В резултат на проучването бяха получени следните данни за една от страните.
Има ли основание да се смята, че е имало нестабилна ситуация в страната?Извършваме решението с помощта на калкулатора Проверка на хипотезата. Таблица за изчисляване на показатели.
| Групи | Среден интервал, x i | Количество, фи | x i * f i | Кумулативна честота, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Честота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
средно претеглена
Индикатори за вариации.
Абсолютни проценти на вариация.
Диапазонът на вариация е разликата между максималните и минималните стойности на атрибута на първичната серия.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Дисперсия- характеризира мярката за разпространение около нейната средна стойност (мярка за дисперсия, т.е. отклонение от средната стойност).
Стандартно отклонение.
Всяка стойност от серията се различава от средната стойност на 43 с не повече от 23,92
Тестване на хипотези за вида на разпределението.
4. Тестване на хипотезата за равномерно разпределениеобщото население.
За да се провери хипотезата за равномерното разпределение на X, т.е. според закона: f(x) = 1/(b-a) в интервала (a,b)
необходимо:
1. Оценете параметрите a и b - краищата на интервала, в който са наблюдавани възможните стойности на X, съгласно формулите (знакът * обозначава оценките на параметрите):
2. Намерете плътността на вероятността на оцененото разпределение f(x) = 1/(b * - a *)
3. Намерете теоретичните честоти:
n 1 = nP 1 = n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 = n 3 \u003d ... = n s-1 = n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Сравнете емпиричните и теоретичните честоти с помощта на теста на Пиърсън, като се приеме броят на степените на свобода k = s-3, където s е броят на първоначалните интервали на извадка; ако обаче е направена комбинация от малки честоти и следователно от самите интервали, тогава s е броят на интервалите, оставащи след комбинацията.
решение:
1. Намерете оценките на параметрите a * и b * на равномерното разпределение по формулите:
2. Намерете плътността на приетото равномерно разпределение:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Намерете теоретичните честоти:
n 1 = n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) = 0,1
n 8 = n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) = 0,17
Останалите n s ще бъдат равни:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| и | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 /n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Обща сума | 1 | 0.0532 |
Следователно критичният регион за тази статистика винаги е дясна ръка :)