Формулы сокращенного умножения.
Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .
Пусть а, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1.
Вычислить
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Вычислить
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
Пример 3.
Упростить выражение
(х - у) 2 + (х + у) 2
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Разность квадратов
Выведем формулу разности квадратов $a^2-b^2$.
Для этого вспомним следующее правило:
Если к выражению прибавить любой одночлен и вычесть такой же одночлен, то мы получим верное тождество.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлен $ab$:
Итого, получим:
То есть, разность квадратов двух одночленов равна произведению их разности на их сумму.
Пример 1
Представить в виде произведения ${4x}^2-y^2$
\[{4x}^2-y^2={(2x)}^2-y^2\]
\[{(2x)}^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]
Сумма кубов
Выведем формулу суммы кубов $a^3+b^3$.
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a+b\right)$:
Итого, получим:
То есть, сумма кубов двух одночленов равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
Пример 2
Представить в виде произведения ${8x}^3+y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3+y^3={(2x)}^3+y^3\]
Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]
Разность кубов
Выведем формулу разность кубов $a^3-b^3$.
Для этого будем пользоваться тем же правилом, что и выше.
Прибавим к нашему выражению и вычтем из него одночлены $a^2b\ и\ {ab}^2$:
Вынесем за скобки общие множители:
Вынесем за скобки $\left(a-b\right)$:
Итого, получим:
То есть, разность кубов двух одночленов равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.
Пример 3
Представить в виде произведения ${8x}^3-y^3$
Данное выражение можно переписать в следующем виде:
\[{8x}^3-y^3={(2x)}^3-y^3\]
Используя формулу разности квадратов, получим:
\[{(2x)}^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]
Пример задач на использование формул разности квадратов и суммы и разности кубов
Пример 4
Разложить на множители.
а) ${(a+5)}^2-9$
в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Решение:
а) ${(a+5)}^2-9$
\[{{(a+5)}^2-9=(a+5)}^2-3^2\]
Применяя формулу разности квадратов, получим:
\[{(a+5)}^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a+8)\]
Запишем данное выражение в виде:
Применим формулу кумы кубов:
в) $-x^3+\frac{1}{27}$
Запишем данное выражение в виде:
\[-x^3+\frac{1}{27}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3\]
Применим формулу кумы кубов:
\[{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-x^3=\left(\frac{1}{3}-x\right)\left(\frac{1}{9}+\frac{x}{3}+x^2\right)\]
В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки .
В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения .
Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку .
Вспомним, как выглядит формула разности кубов.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.
Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.
Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ».
Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ».
Применение разности кубов в обратную сторону
Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.
Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ».
Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.
Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.
Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)
» с правой частью
формулы разности кубов
«a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 +
ab + b 2)
», то
можно понять, что на месте «a
» из первой скобки стоит «y 2
,
а на месте «b
» стоит «1
».